Optimización de la distancia de un punto a una curva

**a) Identifique en la gráfica de la figura las coordenadas de la cueva y del punto del camino desde el cual quiere habilitarse el acceso. Compruebe que la función $f(x) = \sqrt{x^4 - 3x^2 + 4}$ calcula la distancia desde cada punto del camino a la cueva.** Primero identificamos los elementos geométricos: - La **cueva** se encuentra en el punto fijo $C(0, 2)$. - El **camino** es la curva $y = 4 - x^2$ para el intervalo $x \in [0, 2]$. Un punto genérico $P$ del camino tendrá coordenadas $(x, y) = (x, 4 - x^2)$. La distancia $d$ entre la cueva $C(0, 2)$ y un punto cualquiera del camino $P(x, 4 - x^2)$ se calcula mediante la fórmula de la distancia entre dos puntos: $$d(x) = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ Sustituimos las coordenadas: $$f(x) = \sqrt{(x - 0)^2 + ((4 - x^2) - 2)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia entre $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$ es el módulo del vector que los une.

Operamos dentro de la raíz para obtener la expresión simplificada: $$f(x) = \sqrt{x^2 + (2 - x^2)^2}$$ Desarrollamos el binomio al cuadrado $(2 - x^2)^2 = 4 - 4x^2 + x^4$: $$f(x) = \sqrt{x^2 + 4 - 4x^2 + x^4}$$ Agrupamos los términos de igual grado: $$f(x) = \sqrt{x^4 - 3x^2 + 4}$$ Queda comprobado que la función es la proporcionada en el enunciado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) = \sqrt{x^4 - 3x^2 + 4}}$$

**b) Calcule las coordenadas del punto del camino que se halla más próximo a la cueva y diga cuál será la longitud del acceso $d$.** Para encontrar el punto más próximo, debemos minimizar $f(x)$ en el intervalo $[0, 2]$. 💡 **Tip:** Minimizar $f(x) = \sqrt{g(x)}$ es equivalente a minimizar el radicando $g(x) = x^4 - 3x^2 + 4$, ya que la función raíz cuadrada es estrictamente creciente. Calculamos la derivada de $g(x)$: $$g'(x) = 4x^3 - 6x$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $g'(x) = 0$: $$4x^3 - 6x = 0 \implies 2x(2x^2 - 3) = 0$$ Esto nos da dos soluciones posibles para $x$: 1. $2x = 0 \implies x = 0$ 2. $2x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = \frac{3}{2} \implies x = \sqrt{\frac{3}{2}} \approx 1,22$ (Descartamos $x = -\sqrt{3/2}$ porque el camino solo está definido para $x \in [0, 2]$). $$\boxed{x_1 = 0, \quad x_2 = \sqrt{1,5}}$$

Analizamos el comportamiento de $g'(x)$ en el intervalo $[0, 2]$ para determinar cuál es el mínimo relativo: $$\begin{array}{c|ccc} x & 0 & (0, \sqrt{1,5}) & \sqrt{1,5} & (\sqrt{1,5}, 2) \\ \hline g'(x) & 0 & - & 0 & + \\ \text{Comportamiento} & \text{Máx. loc} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $x = 0$, la función empieza a decrecer. - En $x = \sqrt{1,5}$, la derivada cambia de signo de negativo a positivo, por lo que hay un **mínimo relativo**. Comprobamos los valores en los extremos del dominio: - $f(0) = \sqrt{0^4 - 3(0)^2 + 4} = \sqrt{4} = 2$ - $f(2) = \sqrt{2^4 - 3(2)^2 + 4} = \sqrt{16 - 12 + 4} = \sqrt{8} \approx 2,83$ - $f(\sqrt{1,5}) = \sqrt{(1,5)^2 - 3(1,5) + 4} = \sqrt{2,25 - 4,5 + 4} = \sqrt{1,75} \approx 1,32$ El valor mínimo absoluto se alcanza en $x = \sqrt{1,5}$.

Calculamos la ordenada $y$ del punto del camino: $$y = 4 - x^2 = 4 - (\sqrt{1,5})^2 = 4 - 1,5 = 2,5$$ Las coordenadas del punto más próximo son $(1,22, 2,5)$ o exactamente $(\sqrt{1,5}, 2,5)$. La longitud del acceso $d$ es el valor de la función en ese punto: $$d = \sqrt{1,75} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2} \approx 1,32 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Punto: } (\sqrt{1,5}, 2,5); \quad \text{Longitud } d = \frac{\sqrt{7}}{2} \approx 1,32}$$