Rango de una matriz con parámetros y propiedades de determinantes

**a) Determine el rango de la matriz $A$ en función del parámetro $a$.** El rango de una matriz $3 \times 3$ será 3 si su determinante es distinto de cero. Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 \end{vmatrix}$$ $$\det(A) = [1 \cdot (-1) \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot a] - [0 \cdot (-1) \cdot 2 + a \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 0]$$ $$\det(A) = (-1 + 0 + 2a) - (0 + a + 0)$$ $$\det(A) = 2a - 1 - a = a - 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el determinante de una matriz mide la independencia lineal de sus filas o columnas. Si el determinante es cero, el rango es menor que el orden de la matriz.

Analizamos los valores de $a$ que anulan el determinante: $$a - 1 = 0 \implies a = 1$$ **Caso 1: $a \neq 1$** Si $a \neq 1$, el $\det(A) \neq 0$. Por tanto, las tres filas son linealmente independientes. $$\text{rango}(A) = 3$$ **Caso 2: $a = 1$** Si $a = 1$, el $\det(A) = 0$, por lo que el $\text{rango}(A) \lt 3$. Comprobamos si existe algún menor de orden 2 distinto de cero en la matriz: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Tomamos el menor formado por las dos primeras filas y columnas: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (1)(-1) - (0)(1) = -1 \neq 0$$ Al existir un menor de orden 2 no nulo, el rango es 2. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1, \text{ rango}(A) = 3; \text{ si } a = 1, \text{ rango}(A) = 2}$$

**b) Compruebe que $\det(A^2 + A) = 0$.** En lugar de calcular $A^2$ y luego sumarle $A$, podemos simplificar la expresión factorizando la matriz $A$ (sacando factor común por la derecha o la izquierda): $$A^2 + A = A(A + I)$$ donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. Utilizando la propiedad de los determinantes que dice que el determinante del producto es el producto de los determinantes: $$\det(A^2 + A) = \det(A \cdot (A + I)) = \det(A) \cdot \det(A + I)$$ 💡 **Tip:** Esta propiedad es fundamental: $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$. Nos ahorra mucho tiempo de cálculo en potencias y sumas factorizables.

Calculamos la matriz $A + I$: $$A + I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & a & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos ahora $\det(A + I)$. Podemos observar que la fila 1 ($F_1$) es exactamente el doble de la fila 2 ($F_2$): $$F_1 = (2, 0, 2) = 2 \cdot (1, 0, 1) = 2 \cdot F_2$$ Por las propiedades de los determinantes, si una fila es proporcional a otra, el determinante es cero: $$\det(A + I) = 0$$ Si lo calculamos por Sarrus para verificar: $$\det(A + I) = [2 \cdot 0 \cdot 2 + 0 \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot a] - [0 \cdot 0 \cdot 2 + a \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \cdot 0]$$ $$\det(A + I) = 2a - 2a = 0$$ 💡 **Tip:** Siempre que veas filas o columnas proporcionales, el determinante es automáticamente cero.

Sustituimos el valor obtenido en la expresión del paso 3: $$\det(A^2 + A) = \det(A) \cdot \det(A + I)$$ $$\det(A^2 + A) = (a - 1) \cdot 0 = 0$$ Como el resultado es 0 independientemente del valor de $a$, queda comprobada la igualdad. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\det(A^2 + A) = 0}$$