Distribución Binomial: Análisis de níquel en aleación de acero

Para resolver este ejercicio, primero identificamos el modelo de probabilidad que siguen los análisis. Definimos la variable aleatoria $X$ como el **número de análisis erróneos** en un total de $n=10$ análisis realizados. Dado que cada análisis es independiente de los demás y la probabilidad de error es constante ($p = 0.08$), la variable $X$ sigue una **distribución Binomial**: $$X \sim B(n, p) \implies X \sim B(10, 0.08)$$ Donde: - $n = 10$ (número de ensayos). - $p = 0.08$ (probabilidad de éxito, en este caso, que sea erróneo). - $q = 1 - p = 0.92$ (probabilidad de fracaso, es decir, que sea correcto). 💡 **Tip:** La fórmula de la probabilidad para una binomial es $P(X=k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$.

**a. Se afirma que la probabilidad de que 3 o más análisis sean erróneos es menor que el 3%. Justifique si es cierto. 0.75 ptos** Nos piden calcular $P(X \ge 3)$. Es mucho más sencillo calcularlo a través del **suceso complementario**: $$P(X \ge 3) = 1 - P(X \lt 3) = 1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$$ Calculamos cada probabilidad individualmente: 1. $P(X=0) = \binom{10}{0} \cdot 0.08^0 \cdot 0.92^{10} = 1 \cdot 1 \cdot 0.4344 = 0.4344$ 2. $P(X=1) = \binom{10}{1} \cdot 0.08^1 \cdot 0.92^9 = 10 \cdot 0.08 \cdot 0.4722 = 0.3778$ 3. $P(X=2) = \binom{10}{2} \cdot 0.08^2 \cdot 0.92^8 = 45 \cdot 0.0064 \cdot 0.5132 = 0.1478$ Sumamos estas probabilidades: $$P(X \lt 3) = 0.4344 + 0.3778 + 0.1478 = 0.9600$$

Ahora restamos de la unidad para hallar la probabilidad solicitada: $$P(X \ge 3) = 1 - 0.9600 = 0.0400$$ Expresado en porcentaje, la probabilidad es del **4%**. Comparando con la afirmación del enunciado: $4\% \not\lt 3\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La afirmación es FALSA, ya que la probabilidad es del 4%, superior al 3% indicado.}}$$

**b. Se afirma que la probabilidad de obtener exactamente 3 análisis erróneos es menor que el 3%. Justifique si es cierto. 0.75 ptos** Calculamos directamente $P(X=3)$ aplicando la fórmula de la binomial: $$P(X=3) = \binom{10}{3} \cdot 0.08^3 \cdot 0.92^7$$ Operamos paso a paso: - El número combinatorio es: $\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$ - $0.08^3 = 0.000512$ - $0.92^7 \approx 0.5578$ $$P(X=3) = 120 \cdot 0.000512 \cdot 0.5578 = 0.0343$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

El resultado obtenido es $0.0343$, lo que equivale a un **3.43%**. Comparando con la afirmación: $3.43\% \not\lt 3\%$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La afirmación es FALSA, ya que la probabilidad es del 3.43%, superior al 3% indicado.}}$$

**c. Si se realizan 100 análisis, justifique si el número esperado de análisis correctos es igual a 8. 0.5 ptos** En este caso, la muestra cambia a $n=100$. Debemos tener cuidado con lo que se pregunta: se pide el número esperado de **análisis correctos**. Definimos la probabilidad de éxito para un análisis correcto: $p_{correcto} = 1 - 0.08 = 0.92$ El número esperado (esperanza matemática) en una distribución binomial se calcula como: $$E[Y] = n \cdot p$$ Sustituimos los valores: $$E[Y] = 100 \cdot 0.92 = 92$$ El número esperado de análisis correctos es **92**. 💡 **Tip:** El valor 8 correspondería al número esperado de análisis *erróneos* ($100 \cdot 0.08 = 8$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La afirmación es FALSA, el número esperado de análisis correctos es 92.}}$$