Geometría: Recta, plano perpendicular e intersección

**a. Calcule la ecuación del plano $\pi_2$ que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi_1$. 1.25 ptos** Para definir un plano necesitamos un punto y dos vectores directores (o un vector normal). Como el plano $\pi_2$ debe contener a la recta $r$, utilizaremos un punto de la recta ($P_r$) y su vector director ($\vec{v_r}$). La recta $r$ viene dada por la intersección de dos planos. Sus vectores normales son: $$\vec{n_a} = (2, -1, 0), \quad \vec{n_b} = (3, 0, -4)$$ Calculamos el vector director de $r$ mediante el producto vectorial de los normales: $$\vec{v_r} = \vec{n_a} \times \vec{n_b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & -4 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v_r} = [(-1) \cdot (-4)]\mathbf{i} + [0 \cdot 3]\mathbf{j} + [2 \cdot 0]\mathbf{k} - [(-1) \cdot 3]\mathbf{k} - [0 \cdot 0]\mathbf{i} - [2 \cdot (-4)]\mathbf{j}$$ $$\vec{v_r} = 4\mathbf{i} + 3\mathbf{k} + 8\mathbf{j} = (4, 8, 3)$$ Para hallar un punto $P_r$, fijamos una coordenada, por ejemplo $x = 1$: $2(1) - y = 5 \Rightarrow y = -3$ $3(1) - 4z = -1 \Rightarrow 4z = 4 \Rightarrow z = 1$ $$P_r(1, -3, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta expresada como intersección de dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de dichos planos.

El plano $\pi_2$ debe cumplir dos condiciones: 1. Contener a $r$, por lo que el vector $\vec{v_r} = (4, 8, 3)$ es paralelo al plano. 2. Ser perpendicular a $\pi_1$, por lo que el vector normal de $\pi_1$, $\vec{n_1} = (1, -1, 3)$, también es paralelo al plano $\pi_2$. El vector normal de $\pi_2$ ($\vec{n_2}$) será el producto vectorial de estos dos vectores directores: $$\vec{n_2} = \vec{v_r} \times \vec{n_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 8 & 3 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{n_2} = [8 \cdot 3]\mathbf{i} + [3 \cdot 1]\mathbf{j} + [4 \cdot (-1)]\mathbf{k} - [8 \cdot 1]\mathbf{k} - [3 \cdot (-1)]\mathbf{i} - [4 \cdot 3]\mathbf{j}$$ $$\vec{n_2} = 24\mathbf{i} + 3\mathbf{j} - 4\mathbf{k} - 8\mathbf{k} + 3\mathbf{i} - 12\mathbf{j} = (27, -9, -12)$$ Podemos simplificar el vector normal dividiendo por 3 para facilitar los cálculos: $$\vec{n_2} = (9, -3, -4)$$ 💡 **Tip:** Si un plano es perpendicular a otro, el vector normal del primero es un vector director (paralelo) para el segundo.

Utilizamos el vector normal $\vec{n_2} = (9, -3, -4)$ y el punto $P_r(1, -3, 1)$ en la ecuación general del plano: $$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$$ $$9(x - 1) - 3(y - (-3)) - 4(z - 1) = 0$$ $$9x - 9 - 3y - 9 - 4z + 4 = 0$$ $$9x - 3y - 4z - 14 = 0$$ ✅ **Resultado del apartado a:** $$\boxed{\pi_2 \equiv 9x - 3y - 4z - 14 = 0}$$

**b. Sabiendo que la recta $r$ corta el plano $\pi_1$, averigüe el punto de intersección. 1.25 ptos** Para hallar la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi_1$, debemos resolver el sistema formado por las tres ecuaciones (las dos de la recta y la del plano): $$\begin{cases} 2x - y = 5 & (1) \\ 3x - 4z = -1 & (2) \\ x - y + 3z = 12 & (3) \end{cases}$$ Despejamos $y$ de (1) y $z$ de (2) en función de $x$: $$y = 2x - 5$$ $$4z = 3x + 1 \Rightarrow z = \frac{3x + 1}{4}$$ Sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi_1$ (3): $$x - (2x - 5) + 3\left(\frac{3x + 1}{4}\right) = 12$$ $$-x + 5 + \frac{9x + 3}{4} = 12$$ Multiplicamos toda la ecuación por 4 para eliminar el denominador: $$-4x + 20 + 9x + 3 = 48$$ $$5x + 23 = 48 \Rightarrow 5x = 25 \Rightarrow x = 5$$ Ahora calculamos $y$ y $z$: $$y = 2(5) - 5 = 10 - 5 = 5$$ $$z = \frac{3(5) + 1}{4} = \frac{16}{4} = 4$$ 💡 **Tip:** Para hallar la intersección entre recta y plano, suele ser muy cómodo expresar la recta en paramétricas y sustituir en el plano, o bien resolver el sistema de 3 ecuaciones directamente. ✅ **Resultado del apartado b:** $$\boxed{P(5, 5, 4)}$$