Problema de sistemas de ecuaciones: producción de bombones y chocolate

Para resolver el problema, primero definimos las incógnitas que representan las cantidades de cada producto a fabricar: - $x$: número de cajas de bombones. - $y$: número de tabletas de chocolate. - $z$: número de paquetes de chocolate en polvo. A partir del enunciado, planteamos las ecuaciones basadas en las restricciones de recursos y producción: 1. **Total de unidades:** Se quieren fabricar 12 unidades en total: $$x + y + z = 12$$ 2. **Consumo de chocolate:** Disponemos de 24 kg. Las cajas usan 2 kg, las tabletas 4 kg y los paquetes 1 kg: $$2x + 4y + z = 24$$ 3. **Consumo de leche:** Disponemos de 60 litros. Las cajas usan 6 litros, las tabletas 4 litros y los paquetes 4 litros: $$6x + 4y + 4z = 60$$ 💡 **Tip:** Siempre es útil escribir las unidades de medida al plantear las ecuaciones para asegurar la coherencia del sistema.

El sistema de ecuaciones lineales a resolver es el siguiente: $$\begin{cases} x + y + z = 12 \\ 2x + 4y + z = 24 \\ 6x + 4y + 4z = 60 \end{cases}$$ Podemos simplificar la tercera ecuación dividiendo todos sus términos por 2 para facilitar los cálculos: $$3x + 2y + 2z = 30$$ El sistema simplificado queda: $$\begin{cases} x + y + z = 12 \\ 2x + 4y + z = 24 \\ 3x + 2y + 2z = 30 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Simplificar ecuaciones dividiendo por un factor común reduce la probabilidad de cometer errores aritméticos en pasos posteriores.

Escribimos la matriz ampliada del sistema y aplicamos el método de Gauss para triangularla: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 2 & 4 & 1 & 24 \\ 3 & 2 & 2 & 30 \end{array}\right)$$ Realizamos las operaciones elementales entre filas: - Para hacer ceros en la primera columna: $F_2 \to F_2 - 2F_1$ $F_3 \to F_3 - 3F_1$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 & -6 \end{array}\right)$$ - Para hacer el cero en la segunda columna (podemos intercambiar filas o multiplicar para evitar fracciones): $F_3 \to 2F_3 + F_2$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 12 \\ 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & -12 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El método de Gauss consiste en transformar la matriz en una forma escalonada para resolver las incógnitas de abajo hacia arriba.

A partir de la matriz escalonada, obtenemos el sistema equivalente: 1. De la tercera fila: $$-3z = -12 \implies z = \frac{-12}{-3} \implies \mathbf{z = 4}$$ 2. Sustituimos $z$ en la segunda fila: $$2y - z = 0 \implies 2y - 4 = 0 \implies 2y = 4 \implies \mathbf{y = 2}$$ 3. Sustituimos $y$ y $z$ en la primera fila: $$x + y + z = 12 \implies x + 2 + 4 = 12 \implies x + 6 = 12 \implies \mathbf{x = 6}$$ 💡 **Tip:** Una vez obtenidos los valores, es recomendable sustituirlos en las ecuaciones originales para comprobar que la solución es correcta.

Tras resolver el sistema, determinamos las unidades de cada producto que deben fabricarse: - Número de cajas de bombones ($x$): 6 - Número de tabletas de chocolate ($y$): 2 - Número de paquetes de chocolate en polvo ($z$): 4 Comprobamos que se cumplen las condiciones: - Total: $6 + 2 + 4 = 12$ unidades (Correcto). - Chocolate: $2(6) + 4(2) + 1(4) = 12 + 8 + 4 = 24$ kg (Correcto). - Leche: $6(6) + 4(2) + 4(4) = 36 + 8 + 16 = 60$ litros (Correcto). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben fabricar 6 cajas de bombones, 2 tabletas y 4 paquetes de chocolate en polvo.}}$$