Cálculo de parámetros y estudio de asíntotas

**a. Calcule los valores $a, b$ y $c$ de manera que las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ cumplan las dos condiciones siguientes: Se corten en el punto $P(1,1)$ y en dicho punto coincida la pendiente de las rectas tangentes. Dar las expresiones de las funciones resultantes. 1.5 ptos** Si ambas funciones se cortan en el punto $P(1,1)$, significa que tanto $f(x)$ como $g(x)$ deben pasar por ese punto, es decir: 1. $f(1) = 1$ 2. $g(1) = 1$ Sustituimos en $g(x) = -2x^3 + c$: $$g(1) = -2(1)^3 + c = 1 \implies -2 + c = 1 \implies c = 3.$$ Sustituimos en $f(x) = 2x^4 + ax^2 + b$: $$f(1) = 2(1)^4 + a(1)^2 + b = 1 \implies 2 + a + b = 1 \implies a + b = -1.$$ 💡 **Tip:** Un punto $(x_0, y_0)$ pertenece a la gráfica de una función si al sustituir $x_0$ en la expresión se obtiene $y_0$.

La pendiente de la recta tangente a una función en un punto $x=x_0$ es el valor de su derivada en dicho punto $f'(x_0)$. Para que las pendientes coincidan en $x=1$, debe cumplirse que $f'(1) = g'(1)$. Calculamos las derivadas de ambas funciones: $$f'(x) = 8x^3 + 2ax$$ $$g'(x) = -6x^2$$ Igualamos en $x=1$: $$f'(1) = 8(1)^3 + 2a(1) = 8 + 2a$$ $$g'(1) = -6(1)^2 = -6$$ Establecemos la igualdad: $$8 + 2a = -6 \implies 2a = -14 \implies a = -7.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada representa la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado.

Ya conocemos $c = 3$ y $a = -7$. Ahora calculamos $b$ usando la ecuación del primer paso: $$a + b = -1 \implies -7 + b = -1 \implies b = 6.$$ Por tanto, los valores son: $$\boxed{a = -7, \quad b = 6, \quad c = 3}$$ Las expresiones de las funciones resultantes son: $$\boxed{f(x) = 2x^4 - 7x^2 + 6, \quad g(x) = -2x^3 + 3}$$

**b. Suponiendo $a = b = 1$ en $f(x)$, halle las asíntotas de la función: $h(x) = \frac{f(x)}{x^3 - 1}$ 1 pto** Con $a=1$ y $b=1$, la función $f(x)$ es $f(x) = 2x^4 + x^2 + 1$. Entonces: $$h(x) = \frac{2x^4 + x^2 + 1}{x^3 - 1}$$ **Asíntotas Verticales (AV):** Buscamos los valores que anulan el denominador: $$x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = 1.$$ Calculamos el límite en $x=1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{2x^4 + x^2 + 1}{x^3 - 1} = \frac{2(1)^4 + 1^2 + 1}{1^3 - 1} = \frac{4}{0} = \infty.$$ Existe una asíntota vertical en $x=1$. Comprobamos los límites laterales para conocer el comportamiento: - $\lim_{x \to 1^-} h(x) = \frac{4}{0^-} = -\infty$ - $\lim_{x \to 1^+} h(x) = \frac{4}{0^+} = +\infty$ ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = 1}$$

**Asíntotas Horizontales (AH):** $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x^4 + x^2 + 1}{x^3 - 1} = \pm\infty$$ Como el grado del numerador (4) es mayor que el del denominador (3), no existe asíntota horizontal. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Al ser el grado del numerador exactamente uno más que el del denominador, existe una asíntota oblicua del tipo $y = mx + n$. Calculamos $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{h(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^4 + x^2 + 1}{x^4 - x} = 2.$$ Calculamos $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (h(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{2x^4 + x^2 + 1}{x^3 - 1} - 2x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^4 + x^2 + 1 - 2x(x^3 - 1)}{x^3 - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^4 + x^2 + 1 - 2x^4 + 2x}{x^3 - 1}$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 2x + 1}{x^3 - 1} = 0.$$ La asíntota oblicua es $y = 2x + 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que si el grado del numerador es $n$ y el del denominador es $m$, si $n = m+1$ siempre existe asíntota oblicua. ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{y = 2x}$$