Distribución Normal: Fallos en impresoras

Definimos la variable aleatoria continua que describe el fenómeno: $X$: tiempo (en horas) hasta la primera avería de una impresora. El enunciado indica que $X$ sigue una **distribución normal**, por lo que anotamos sus parámetros: - Media: $\mu = 1500$ - Desviación típica: $\sigma = 200$ Por tanto: **$X \sim N(1500, 200)$**. 💡 **Tip:** Para trabajar con cualquier distribución normal $N(\mu, \sigma)$, debemos realizar el proceso de **tipificación** para utilizar la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$ mediante la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$.

**a. ¿Qué porcentaje de esas impresoras fallarán antes de 1000 horas de funcionamiento? 1.25 ptos** Buscamos la probabilidad $P(X \lt 1000)$. Tipificamos la variable: $$P(X \lt 1000) = P\left(Z \lt \frac{1000 - 1500}{200}\right) = P\left(Z \lt \frac{-500}{200}\right) = P(Z \lt -2.5)$$ Como la tabla de la normal estándar solo ofrece valores para $z \ge 0$ y áreas a la izquierda, aplicamos las propiedades de **simetría** de la campana de Gauss: $$P(Z \lt -2.5) = P(Z \gt 2.5) = 1 - P(Z \le 2.5)$$ Buscamos el valor $2.5$ en la tabla $N(0, 1)$: $$P(Z \le 2.5) = 0.9938$$ Calculamos el resultado final: $$P(X \lt 1000) = 1 - 0.9938 = 0.0062$$ Para expresar el resultado en porcentaje, multiplicamos por 100: $$0.0062 \cdot 100 = 0.62\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{0.62\%}$$

**b. ¿Qué porcentaje de esas impresoras tendrán la primera avería entre las 1000 y 2000 horas de uso? 1.25 ptos** En este caso, debemos calcular $P(1000 \lt X \lt 2000)$. Tipificamos ambos límites del intervalo: $$P\left(\frac{1000 - 1500}{200} \lt Z \lt \frac{2000 - 1500}{200}\right) = P(-2.5 \lt Z \lt 2.5)$$ La probabilidad de un intervalo se calcula restando las probabilidades acumuladas: $$P(-2.5 \lt Z \lt 2.5) = P(Z \lt 2.5) - P(Z \lt -2.5)$$ Utilizando los valores obtenidos en el apartado anterior: - $P(Z \lt 2.5) = 0.9938$ - $P(Z \lt -2.5) = 0.0062$ Sustituimos: $$P(1000 \lt X \lt 2000) = 0.9938 - 0.0062 = 0.9876$$ Convertimos a porcentaje: $$0.9876 \cdot 100 = 98.76\%$$ 💡 **Tip:** Debido a la simetría de la normal, el intervalo $(-2.5, 2.5)$ está centrado en la media. También se podría calcular como $2 \cdot P(Z \le 2.5) - 1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{98.76\%}$$