Posición relativa de dos rectas y plano perpendicular

**a. Estudie la posición relativa de $r$ y $s$. 1.5 ptos** Para estudiar la posición relativa de dos rectas, primero debemos obtener un punto y un vector director de cada una. La recta $r$ viene dada por la intersección de dos planos. El vector director $\vec{d_r}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: Planos de $r$: $\pi_1: x + y - z = 4 \Rightarrow \vec{n_1} = (1, 1, -1)$ y $\pi_2: x + 2y = 7 \Rightarrow \vec{n_2} = (1, 2, 0)$. $$\vec{d_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{d_r} = (0)\vec{i} + (-1)\vec{j} + (2)\vec{k} - (1)\vec{k} - (-2)\vec{i} - (0)\vec{j} = 2\vec{i} - \vec{j} + \vec{k}$$ $$\vec{d_r} = (2, -1, 1)$$ Para el punto $P_r$, fijamos una coordenada, por ejemplo $y = 0$ en el sistema de $r$: $$\begin{cases} x + 0 - z = 4 \\ x + 2(0) = 7 \end{cases} \Rightarrow x = 7, \quad 7 - z = 4 \Rightarrow z = 3$$ $$\boxed{P_r(7, 0, 3), \quad \vec{d_r}(2, -1, 1)}$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos es siempre el producto vectorial de sus vectores normales.

La recta $s$ también está dada como intersección de dos planos muy sencillos: $x=2$ y $y=-5$. Directamente, podemos ver que cualquier punto de la recta tiene coordenadas $(2, -5, z)$. Un punto de la recta puede ser $P_s(2, -5, 0)$ (haciendo $z=0$). El vector director $\vec{d_s}$ se obtiene de los vectores normales $\vec{n_3}(1, 0, 0)$ y $\vec{n_4}(0, 1, 0)$: $$\vec{d_s} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0)\vec{i} - (0)\vec{j} + (1)\vec{k} = (0, 0, 1)$$ $$\boxed{P_s(2, -5, 0), \quad \vec{d_s}(0, 0, 1)}$$

Primero comparamos los vectores directores $\vec{d_r}(2, -1, 1)$ y $\vec{d_s}(0, 0, 1)$. Como no son proporcionales (no existe $k$ tal que $\vec{d_r} = k \vec{d_s}$), las rectas **se cortan o se cruzan**. Para distinguir estos casos, estudiamos el rango de la matriz formada por $\vec{d_r}$, $\vec{d_s}$ y el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = (2 - 7, -5 - 0, 0 - 3) = (-5, -5, -3)$$ Calculamos el determinante: $$|M| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ -5 & -5 & -3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la segunda fila (que tiene dos ceros): $$|M| = - (1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -5 & -5 \end{vmatrix} = -1 \cdot [2(-5) - (-1)(-5)] = -1 \cdot [-10 - 5] = 15$$ Como $|M| \neq 0$, el rango es 3, lo que significa que los tres vectores son linealmente independientes y, por tanto, las rectas no son coplanarias. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan en el espacio.}}$$

**b. Halle la ecuación del plano perpendicular a la recta $r$, y que contiene el punto $A(11, -2, 5)$ 1 pto** Si un plano $\pi$ es perpendicular a una recta $r$, el vector director de la recta $\vec{d_r}$ es el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Del apartado anterior, sabemos que $\vec{d_r} = (2, -1, 1)$. Por tanto: $$\vec{n_\pi} = (2, -1, 1)$$ La ecuación general del plano será de la forma: $$2x - y + z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $A(11, -2, 5)$: $$2(11) - (-2) + 5 + D = 0$$ $$22 + 2 + 5 + D = 0$$ $$29 + D = 0 \Rightarrow D = -29$$ Sustituimos $D$ en la ecuación: $$2x - y + z - 29 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación del plano $Ax+By+Cz+D=0$, los coeficientes $(A, B, C)$ corresponden a las componentes del vector normal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{2x - y + z - 29 = 0}$$