Invertibilidad de una matriz y resolución de una ecuación matricial

**a. Halle los valores del parámetro $k$ para los que la matriz $A$ tiene inversa. 1 pto** Para que una matriz cuadrada $A$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$). Comenzamos calculando el determinante de $A$ en función de $k$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} k & 0 & 1 \\ 0 & k - 1 & k - 1 \\ k & 1 & k - 3 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [k(k-1)(k-3) + 0 \cdot (k-1) \cdot k + 1 \cdot 0 \cdot 1] - [1 \cdot (k-1) \cdot k + (k-1) \cdot 1 \cdot k + (k-3) \cdot 0 \cdot 0]$$ Simplificamos los términos: $$|A| = k(k-1)(k-3) - [k(k-1) + k(k-1)]$$ $$|A| = k(k-1)(k-3) - 2k(k-1)$$ 💡 **Tip:** No desarrolles todo el polinomio inmediatamente. Es más eficiente factorizar para encontrar las raíces fácilmente.

Para resolver $|A| = 0$, factorizamos la expresión anterior sacando factor común $k(k-1)$: $$|A| = k(k-1) \cdot [(k-3) - 2]$$ $$|A| = k(k-1)(k-5)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores de $k$ que hacen que la matriz **no** tenga inversa: $$k(k-1)(k-5) = 0 \implies k=0, \, k=1, \, k=5$$ Por tanto, la matriz $A$ tendrá inversa para cualquier valor real de $k$ excepto estos tres. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 5\}}$$

**b. Tomando el valor $k = -1$ en la matriz $A$, calcule la matriz $X$ que verifica que: $A \cdot X = 24 \cdot I_3$, siendo $I_3$ la matriz identidad de orden 3. 1.5 ptos** Primero, despejamos la matriz $X$ de la ecuación $A \cdot X = 24 \cdot I_3$. Como para $k = -1$ la matriz $A$ tiene inversa (ya que $-1 \notin \{0, 1, 5\}$), podemos multiplicar por $A^{-1}$ por la izquierda: $$A^{-1} \cdot A \cdot X = A^{-1} \cdot 24 \cdot I_3$$ $$I_3 \cdot X = 24 \cdot A^{-1}$$ $$X = 24 \cdot A^{-1}$$ Sustituimos $k = -1$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -2 & -2 \\ -1 & 1 & -4 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante para este valor de $k$ usando la fórmula del apartado anterior: $$|A| = (-1)(-1-1)(-1-5) = (-1)(-2)(-6) = -12$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en una ecuación matricial el orden de los factores importa. Si multiplicas por la inversa, debe ser por el mismo lado en ambos miembros de la igualdad.

Para hallar $A^{-1}$, utilizamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A)^t$. Primero calculamos la matriz de los adjuntos (cofactores): - $A_{11} = + \begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = 8 - (-2) = 10$ - $A_{12} = - \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = -(0 - 2) = 2$ - $A_{13} = + \begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 2 = -2$ - $A_{21} = - \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = -(0 - 1) = 1$ - $A_{22} = + \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -4 \end{vmatrix} = 4 - (-1) = 5$ - $A_{23} = - \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$ - $A_{31} = + \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = 0 - (-2) = 2$ - $A_{32} = - \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -(2 - 0) = -2$ - $A_{33} = + \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 2 - 0 = 2$ La matriz de adjuntos es: $\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 10 & 2 & -2 \\ 1 & 5 & 1 \\ 2 & -2 & 2 \end{pmatrix}$

Obtenemos la traspuesta de la matriz adjunta: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 10 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & -2 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $X = 24 \cdot A^{-1}$: $$X = 24 \cdot \frac{1}{-12} \begin{pmatrix} 10 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & -2 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$X = -2 \cdot \begin{pmatrix} 10 & 1 & 2 \\ 2 & 5 & -2 \\ -2 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Multiplicamos el escalar por cada elemento de la matriz: ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -20 & -2 & -4 \\ -4 & -10 & 4 \\ 4 & -2 & -4 \end{pmatrix}}$$