Estudio de una función logarítmica e integración por partes

**a. Presente el dominio, los intervalos de crecimiento y decrecimiento, así como los posibles extremos relativos de la función $f(x)$. 1.25 ptos** Analizamos las restricciones de la función $f(x) = \frac{\ln x}{x^2}$: 1. El logaritmo neperiano, $\ln x$, solo está definido para valores estrictamente positivos: $x \gt 0$. 2. El denominador, $x^2$, debe ser distinto de cero: $x^2 \neq 0 \implies x \neq 0$. Combinando ambas condiciones, el dominio de la función es el intervalo de los números reales positivos. 💡 **Tip:** Recuerda que el dominio de un logaritmo $\ln(g(x))$ es $g(x) \gt 0$ y en una fracción el denominador no puede anularse. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = (0, +\infty)}$$

Para estudiar el crecimiento, decrecimiento y los extremos relativos, calculamos la primera derivada $f'(x)$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x^2 - \ln x \cdot (x^2)'}{(x^2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln x \cdot 2x}{x^4} = \frac{x - 2x \ln x}{x^4}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $x$ (ya que $x \neq 0$ en el dominio): $$f'(x) = \frac{1 - 2 \ln x}{x^3}$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \implies 1 - 2 \ln x = 0 \implies \ln x = \frac{1}{2} \implies x = e^{1/2} = \sqrt{e}$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico $(0, \sqrt{e})$ y $(\sqrt{e}, +\infty)$. Notamos que el denominador $x^3$ siempre es positivo para $x \gt 0$, por lo que el signo depende solo del numerador $1 - 2 \ln x$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, \sqrt{e}) & \sqrt{e} & (\sqrt{e}, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - En $(0, \sqrt{e})$, tomamos por ejemplo $x=1$: $f'(1) = \frac{1-0}{1} = 1 \gt 0$ (**Creciente**). - En $(\sqrt{e}, +\infty)$, tomamos por ejemplo $x=e$: $f'(e) = \frac{1-2}{e^3} = -\frac{1}{e^3} \lt 0$ (**Decreciente**). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, \sqrt{e}) \quad \text{y} \quad \text{Decreciente en } (\sqrt{e}, +\infty)}$$

Dado que la función pasa de crecer a decrecer en $x = \sqrt{e}$, existe un **máximo relativo** en ese punto. Calculamos la ordenada del punto: $$f(\sqrt{e}) = \frac{\ln(\sqrt{e})}{(\sqrt{e})^2} = \frac{1/2}{e} = \frac{1}{2e}$$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } \left(\sqrt{e}, \frac{1}{2e}\right)}$$

**b. Calcule el valor de la integral: $\int_1^e f(x) \, dx$ 1.25 ptos** Resolvemos primero la integral indefinida $I = \int \frac{\ln x}{x^2} \, dx$ usando el método de integración por partes: Tomamos: - $u = \ln x \implies du = \frac{1}{x} dx$ - $dv = \frac{1}{x^2} dx = x^{-2} dx \implies v = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$ Aplicamos la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$I = -\frac{\ln x}{x} - \int \left(-\frac{1}{x}\right) \frac{1}{x} dx = -\frac{\ln x}{x} + \int x^{-2} dx$$ $$I = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} = -\frac{\ln x + 1}{x} + C$$ 💡 **Tip:** El método de integración por partes es muy útil cuando aparece el producto de una función logarítmica por una potencia de $x$.

Calculamos la integral definida en el intervalo $[1, e]$ utilizando la primitiva hallada: $$\int_1^e \frac{\ln x}{x^2} dx = \left[ -\frac{\ln x + 1}{x} \right]_1^e$$ Evaluamos en los límites de integración: - Para $x = e$: $-\frac{\ln e + 1}{e} = -\frac{1 + 1}{e} = -\frac{2}{e}$ - Para $x = 1$: $-\frac{\ln 1 + 1}{1} = -\frac{0 + 1}{1} = -1$ Restamos los valores (Regla de Barrow): $$\left(-\frac{2}{e}\right) - (-1) = 1 - \frac{2}{e}$$ ✅ **Resultado (Integral):** $$\boxed{\int_1^e \frac{\ln x}{x^2} dx = 1 - \frac{2}{e} \approx 0.264}$$