Probabilidad condicionada: El despertador

**a. Represente el diagrama de árbol del problema. 0.5 ptos** Primero definimos los sucesos del problema: - $S$: El despertador suena. - $\bar{S}$: El despertador no suena. - $T$: Llego tarde a clase. - $\bar{T}$: No llego tarde a clase. Datos extraídos del enunciado: - $P(\bar{S}) = 0,20 \implies P(S) = 1 - 0,20 = 0,80$. - $P(T|S) = 0,20 \implies P(\bar{T}|S) = 1 - 0,20 = 0,80$. - $P(T|\bar{S}) = 0,90 \implies P(\bar{T}|\bar{S}) = 1 - 0,90 = 0,10$. 💡 **Tip:** En un diagrama de árbol, la suma de las probabilidades que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1.

**b. Justifique si el porcentaje de veces que llego tarde a clase y ha sonado el despertador es mayor que el 20%. 0.75 ptos** Nos preguntan por la probabilidad de la intersección de que llegue tarde y que el despertador haya sonado, es decir, $P(T \cap S)$. Utilizando la regla del producto: $$P(T \cap S) = P(S) \cdot P(T|S)$$ Sustituimos los valores: $$P(T \cap S) = 0,8 \cdot 0,2 = 0,16$$ En términos de porcentaje: $$0,16 \cdot 100 = 16\%$$ Comparando con el valor solicitado: $$16\% \ngtr 20\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es mayor, el porcentaje es del 16\%}}$$

**c. Justifique si la probabilidad de que no llegue tarde a clase es menor que 0,5 0.75 ptos** Calculamos primero la probabilidad de llegar tarde $P(T)$ usando el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(T) = P(S \cap T) + P(\bar{S} \cap T)$$ $$P(T) = (0,8 \cdot 0,2) + (0,2 \cdot 0,9) = 0,16 + 0,18 = 0,34$$ Ahora, calculamos la probabilidad de no llegar tarde ($P(\bar{T})$) como el suceso complementario: $$P(\bar{T}) = 1 - P(T)$$ $$P(\bar{T}) = 1 - 0,34 = 0,66$$ Comparando con el valor del enunciado: $$0,66 \gt 0,5$$ Por lo tanto, la probabilidad de no llegar tarde no es menor que 0,5. 💡 **Tip:** También podías sumar directamente las ramas del árbol que terminan en $\bar{T}$: $$P(\bar{T}) = P(S \cap \bar{T}) + P(\bar{S} \cap \bar{T}) = 0,64 + 0,02 = 0,66$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No es menor, la probabilidad es } 0,66}$$

**d. Si un día llego tarde a clase, ¿cuál es la probabilidad de que haya sonado el despertador? 0.5 ptos** Se trata de una probabilidad condicionada (Teorema de Bayes), donde sabemos que el alumno ha llegado tarde ($T$) y queremos saber la probabilidad de que el despertador hubiera sonado ($S$): $$P(S|T) = \frac{P(S \cap T)}{P(T)}$$ Utilizamos los valores calculados en los apartados anteriores: - $P(S \cap T) = 0,16$ - $P(T) = 0,34$ $$P(S|T) = \frac{0,16}{0,34} = \frac{16}{34} = \frac{8}{17} \approx 0,4706$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S|T) = \frac{8}{17} \approx 0,4706}$$