Geometría en el espacio: planos perpendiculares y ángulos entre rectas

**a. Encuentre la ecuación del plano $\pi$ que contiene al punto $A$ y es perpendicular a la recta $r$. 1.5 ptos** Para que un plano sea perpendicular a una recta, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Sus vectores normales son: $$\vec{n}_1 = (1, 1, 0) \quad \text{y} \quad \vec{n}_2 = (0, 3, 1)$$ Calculamos el vector director de la recta $r$ mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que la definen: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus (o desarrollo por adjuntos): $$\vec{v}_r = \vec{i}(1\cdot 1 - 0\cdot 3) - \vec{j}(1\cdot 1 - 0\cdot 0) + \vec{k}(1\cdot 3 - 1\cdot 0)$$ $$\vec{v}_r = 1\vec{i} - 1\vec{j} + 3\vec{k} = (1, -1, 3)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta expresada en implícitas es siempre perpendicular a los vectores normales de los planos que la forman. $$\boxed{\vec{v}_r = (1, -1, 3)}$$

Como el plano $\pi$ es perpendicular a $r$, tomamos como vector normal del plano $\vec{n}_\pi = \vec{v}_r = (1, -1, 3)$. La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes de nuestro vector normal: $$1x - 1y + 3z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el punto $A(1, 2, 1)$ pertenezca al plano: $$1(1) - 1(2) + 3(1) + D = 0$$ $$1 - 2 + 3 + D = 0 \implies 2 + D = 0 \implies D = -2$$ La ecuación del plano es $x - y + 3z - 2 = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: x - y + 3z - 2 = 0}$$

**b. Consideremos $P(1, 4, 2)$, un punto de la recta $r$. Y sea $s$ la recta determinada por los puntos $A$ y $P$. Calcule el ángulo que forman las rectas $r$ y $s$. 1 pto** Primero, obtenemos el vector director de la recta $s$, que pasa por $A(1, 2, 1)$ y $P(1, 4, 2)$: $$\vec{v}_s = \vec{AP} = P - A = (1 - 1, 4 - 2, 2 - 1) = (0, 2, 1)$$ Ya conocemos el vector director de la recta $r$ del apartado anterior: $$\vec{v}_r = (1, -1, 3)$$ 💡 **Tip:** Para calcular el ángulo entre dos rectas, solo necesitamos sus vectores directores. El ángulo $\alpha$ se obtiene mediante el valor absoluto del coseno para asegurar que obtenemos el ángulo agudo ($0 \le \alpha \le 90^\circ$).

Utilizamos la fórmula del ángulo entre dos rectas: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s|}{\|\vec{v}_r\| \cdot \|\vec{v}_s\|}$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = (1)(0) + (-1)(2) + (3)(1) = 0 - 2 + 3 = 1$$ Calculamos los módulos de los vectores: $$\|\vec{v}_r\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$$ $$\|\vec{v}_s\| = \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 4 + 1} = \sqrt{5}$$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{|1|}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{55}}$$ Finalmente, calculamos el ángulo: $$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{\sqrt{55}}\right) \approx 82.25^\circ$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha \approx 82.25^\circ \quad (\text{o } \arccos(1/\sqrt{55}) \text{ rad})}$$