Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetro

**a. Discuta el sistema según los valores del parámetro $k$. 1.75 ptos** Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} k & 2 & 6 \\ 2 & k & 4 \\ 2 & k & 6 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} k & 2 & 6 & | & 0 \\ 2 & k & 4 & | & 2 \\ 2 & k & 6 & | & k-2 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} k & 2 & 6 \\ 2 & k & 4 \\ 2 & k & 6 \end{vmatrix} = (6k^2 + 16 + 12k) - (12k + 4k^2 + 24)$$ $$|A| = 6k^2 + 12k + 16 - 12k - 4k^2 - 24 = 2k^2 - 8$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$2k^2 - 8 = 0 \implies k^2 = 4 \implies k = 2, \quad k = -2$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius establece que un sistema es compatible si $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*)$. Si además coincide con el número de incógnitas, es determinado (solución única).

Si $k \neq 2$ y $k \neq -2$, entonces $|A| \neq 0$. En este caso, el rango de la matriz de coeficientes es máximo: $$\text{rang}(A) = 3$$ Como el rango de la matriz ampliada $A^*$ no puede ser mayor que 3 ni menor que el de $A$, entonces: $$\text{rang}(A^*) = 3$$ Al ser $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3$ (igual al número de incógnitas), por el **Teorema de Rouché-Frobenius**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k \in \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}, \text{ el sistema es Compatible Determinado (SCD)}}$$

Sustituimos $k = 2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & 2 & 6 & | & 0 \\ 2 & 2 & 4 & | & 2 \\ 2 & 2 & 6 & | & 0 \end{pmatrix}$$ Observamos que la primera fila ($F_1$) y la tercera fila ($F_3$) son idénticas. Esto implica que el determinante de cualquier menor de orden 3 que incluya estas filas será 0, por lo que $\text{rang}(A^*) \lt 3$. Calculamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} = 8 - 12 = -4 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Como $F_1 = F_3$ en la matriz ampliada, el rango de $A^*$ también es 2: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3 \text{ (nº incógnitas)}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k = 2, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

Sustituimos $k = -2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 6 & | & 0 \\ 2 & -2 & 4 & | & 2 \\ 2 & -2 & 6 & | & -4 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$. Buscamos un menor de orden 2 en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ -2 & 4 \end{vmatrix} = 8 - (-12) = 20 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ comprobando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 6 & 0 \\ -2 & 4 & 2 \\ -2 & 6 & -4 \end{vmatrix} = [2(4)(-4) + 6(2)(-2) + 0] - [0 + 2(2)(2) + 6(-2)(-4)]$$ $$= [-32 - 24] - [8 + 48] = -56 - 56 = -112 \neq 0$$ Por lo tanto, $\text{rang}(A^*) = 3$. Como $\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$, por el **Teorema de Rouché-Frobenius**: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } k = -2, \text{ el sistema es Incompatible (SI)}}$$

**b. Resuelva el sistema para $k = 0$ 0.75 ptos** Si $k = 0$, el sistema es Compatible Determinado. Sustituimos $k = 0$ en las ecuaciones: $$\begin{cases} 2y + 6z = 0 \quad (1) \\ 2x + 4z = 2 \quad (2) \\ 2x + 6z = -2 \quad (3) \end{cases}$$ De la ecuación (1), despejamos $y$ en función de $z$: $$2y = -6z \implies y = -3z$$ Para hallar $z$, restamos la ecuación (2) de la (3): $$(2x + 6z) - (2x + 4z) = -2 - 2 \implies 2z = -4 \implies z = -2$$ Sustituimos $z = -2$ para hallar $y$: $$y = -3(-2) = 6$$ Sustituimos $z = -2$ en la ecuación (2) para hallar $x$: $$2x + 4(-2) = 2 \implies 2x - 8 = 2 \implies 2x = 10 \implies x = 5$$ 💡 **Tip:** Al resolver sistemas determinados, puedes usar sustitución, reducción o la Regla de Cramer. En este caso, la reducción directa entre filas con $x$ ha sido lo más rápido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 5, \quad y = 6, \quad z = -2}$$