Cálculo de parámetros para una recta tangente

**1. Halle los valores de $a$ y $b$ para que la recta de ecuación $y = 6x + a$ sea tangente a la curva $f(x) = \frac{bx-1}{bx+1}$ en el punto de abscisa $x = 0$** Para que una recta sea tangente a una curva en un punto dado $x_0$, deben cumplirse dos condiciones fundamentales: 1. **Punto común:** La función y la recta deben pasar por el mismo punto, es decir, coincidir en su ordenada: $f(x_0) = y(x_0)$. 2. **Igualdad de pendientes:** La derivada de la función en ese punto debe ser igual a la pendiente de la recta tangente: $f'(x_0) = m$. En este caso, el punto de tangencia es $x = 0$ y la recta es $y = 6x + a$, por lo que su pendiente es $m = 6$. 💡 **Tip:** Recuerda que si la recta tiene la forma $y = mx + n$, su pendiente es directamente el coeficiente $m$ que acompaña a la $x$.

Aplicamos la primera condición: $f(0) = y(0)$. Primero, calculamos el valor de la función en $x = 0$: $$f(0) = \frac{b(0) - 1}{b(0) + 1} = \frac{-1}{1} = -1$$ Ahora, calculamos el valor de la recta en $x = 0$: $$y(0) = 6(0) + a = a$$ Igualando ambos resultados: $$-1 = a \implies a = -1$$ ✅ **Valor de a:** $$\boxed{a = -1}$$

Aplicamos la segunda condición: $f'(0) = 6$. Primero, calculamos la derivada de $f(x)$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{b(bx+1) - b(bx-1)}{(bx+1)^2}$$ Simplificamos el numerador: $$f'(x) = \frac{b^2x + b - b^2x + b}{(bx+1)^2} = \frac{2b}{(bx+1)^2}$$ Ahora evaluamos la derivada en $x = 0$ e igualamos a la pendiente de la recta ($6$): $$f'(0) = \frac{2b}{(b \cdot 0 + 1)^2} = \frac{2b}{1^2} = 2b$$ $$2b = 6 \implies b = \frac{6}{2} = 3$$ 💡 **Tip:** La regla del cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$. En este ejercicio $u = bx-1$ y $v = bx+1$. ✅ **Valor de b:** $$\boxed{b = 3}$$

Una vez hallados los valores de los parámetros $a = -1$ y $b = 3$, sustituimos en las expresiones originales para obtener las funciones finales. La función $f(x)$ queda: $$f(x) = \frac{3x - 1}{3x + 1}$$ La recta tangente queda: $$y = 6x - 1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = \frac{3x - 1}{3x + 1}, \quad y = 6x - 1}$$