Distribución Binomial: Vida útil de bombillas fluorescentes

Para resolver este problema, identificamos que estamos ante una **distribución binomial**, ya que tenemos un número fijo de ensayos independientes ($n=20$ bombillas) y cada bombilla tiene solo dos posibilidades: durar al menos 800 horas o no durar ese tiempo. Definimos la variable aleatoria: $X$: "Número de bombillas que tienen una vida útil de al menos 800 horas". Los parámetros son: - $n = 20$ (número total de bombillas). - $p = 0,9$ (probabilidad de éxito: durar al menos 800 horas). - $q = 1 - p = 0,1$ (probabilidad de fracaso: durar menos de 800 horas). Por tanto, $X \sim B(20; 0,9)$. 💡 **Tip:** Una distribución es binomial si los experimentos son independientes, el número de ensayos es fijo y la probabilidad de éxito es constante en cada ensayo.

**a. Al seleccionar exactamente 18 bombillas fluorescentes, más del 30% tienen una vida útil de al menos 800 horas. 1 pto** El enunciado nos pide calcular la probabilidad de obtener exactamente 18 bombillas con éxito ($X=18$) y verificar si esa probabilidad es mayor que 0,3 (30%). Utilizamos la fórmula de la probabilidad binomial: $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$$ Para $k=18$: $$P(X=18) = \binom{20}{18} \cdot 0,9^{18} \cdot 0,1^{20-18}$$ Calculamos el número combinatorio: $$\binom{20}{18} = \binom{20}{2} = \frac{20 \cdot 19}{2} = 190$$ Sustituimos en la fórmula: $$P(X=18) = 190 \cdot 0,9^{18} \cdot 0,1^2$$ $$P(X=18) = 190 \cdot 0,15009 \cdot 0,01 \approx 0,2852$$ Comparando con el 30% ($0,3$): $$0,2852 \lt 0,3$$ La afirmación es **falsa**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Falsa, la probabilidad es } 0,2852 \text{ (28,52%), que es menor al 30%}}$$

**b. La probabilidad de que dos bombillas fluorescentes o menos NO tengan una duración de al menos 800 horas es menor que 0,7 1 pto** En este caso, nos interesa el número de bombillas que **NO** duran 800 horas. Definimos una nueva variable $Y$: $Y$: "Número de bombillas que NO duran al menos 800 horas". Esta variable sigue una distribución binomial $Y \sim B(20; 0,1)$, donde el éxito es ahora no durar ($p=0,1$). Queremos calcular $P(Y \le 2)$: $$P(Y \le 2) = P(Y=0) + P(Y=1) + P(Y=2)$$ Calculamos cada una: 1. $P(Y=0) = \binom{20}{0} \cdot 0,1^0 \cdot 0,9^{20} = 1 \cdot 1 \cdot 0,12158 = 0,12158$ 2. $P(Y=1) = \binom{20}{1} \cdot 0,1^1 \cdot 0,9^{19} = 20 \cdot 0,1 \cdot 0,13509 = 0,27018$ 3. $P(Y=2) = \binom{20}{2} \cdot 0,1^2 \cdot 0,9^{18} = 190 \cdot 0,01 \cdot 0,15009 = 0,28517$ Sumamos las probabilidades: $$P(Y \le 2) = 0,12158 + 0,27018 + 0,28517 = 0,67693$$ Comparando con $0,7$: $$0,67693 \lt 0,7$$ La afirmación es **cierta**. 💡 **Tip:** Recuerda que $P(Y \le 2)$ también equivale a $P(X \ge 18)$ en la distribución original.

**c. El valor esperado de bombillas con una vida útil de al menos 800 horas si se toma una muestra de 100 bombillas fluorescentes es igual a 10 0.5 ptos** El valor esperado (o esperanza matemática) de una distribución binomial se calcula con la fórmula: $$E[X] = n \cdot p$$ En este nuevo escenario: - $n = 100$ - $p = 0,9$ (probabilidad de tener vida útil $\ge 800$ h). Calculamos la esperanza: $$E[X] = 100 \cdot 0,9 = 90$$ El enunciado afirma que el valor esperado es igual a 10, lo cual es incorrecto (10 sería el valor esperado de las bombillas que NO duran 800 horas). Por tanto, la afirmación es **falsa**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Falsa, el valor esperado es } 90}$$