Posición relativa y plano perpendicular

**a. ¿Cuál es la posición relativa de la recta $r$ y el plano $\pi$? 1.25 ptos** Primero, identificamos un punto y el vector director de la recta $r$, así como el vector normal del plano $\pi$. De la ecuación paramétrica de la recta $r$: $$r: \begin{cases} x = 0 - 2\lambda \\ y = 2 + 1\lambda \\ z = 2 + 1\lambda \end{cases} \implies \text{Punto } P_r(0, 2, 2) \text{ y vector director } \vec{v}_r = (-2, 1, 1)$$ De la ecuación general del plano $\pi: x - 3y + 5z - 2 = 0$: $$\text{Vector normal } \vec{n}_\pi = (1, -3, 5)$$ 💡 **Tip:** En la ecuación del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$. En las paramétricas de la recta, los coeficientes de $\lambda$ forman el vector director.

Para conocer la posición relativa, calculamos el producto escalar entre el vector director de la recta $\vec{v}_r$ y el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-3) + 1 \cdot 5 = -2 - 3 + 5 = 0$$ Como el producto escalar es **cero**, los vectores son perpendiculares, lo que significa que la recta es **paralela al plano o está contenida en él**. 💡 **Tip:** Si $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = 0$, la recta no corta al plano en un único punto; o no lo corta nunca (paralela) o lo corta en todos sus puntos (contenida).

Para distinguir entre paralela o contenida, comprobamos si el punto $P_r(0, 2, 2)$ de la recta satisface la ecuación del plano $\pi$: $$0 - 3(2) + 5(2) = 2$$ $$0 - 6 + 10 = 4$$ Como $4 \neq 2$, el punto $P_r \notin \pi$. Por lo tanto, la recta y el plano no tienen puntos en común. ✅ **Resultado (Posición relativa):** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ son paralelos.}}$$

**b. Calcular el plano $\pi'$ que contiene a la recta $r$ y es perpendicular al plano $\pi$. 1.25 ptos** El plano $\pi'$ que buscamos debe cumplir dos condiciones: 1. **Contiene a $r$**: Por lo tanto, el punto $P_r(0, 2, 2)$ está en el plano y el vector $\vec{v}_r = (-2, 1, 1)$ es uno de sus vectores directores. 2. **Es perpendicular a $\pi$**: Por lo tanto, el vector normal de $\pi$, $\vec{n}_\pi = (1, -3, 5)$, es el otro vector director del plano $\pi'$. Plan de resolución: Hallaremos el vector normal de $\pi'$ mediante el producto vectorial de sus dos vectores directores.

Calculamos $\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_r \times \vec{n}_\pi$ mediante un determinante: $$\vec{n}_{\pi'} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus (o desarrollo por la primera fila): $$\mathbf{i} \cdot (1 \cdot 5 - 1 \cdot (-3)) - \mathbf{j} \cdot ((-2) \cdot 5 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k} \cdot ((-2) \cdot (-3) - 1 \cdot 1)$$ $$\mathbf{i} \cdot (5 + 3) - \mathbf{j} \cdot (-10 - 1) + \mathbf{k} \cdot (6 - 1)$$ $$\vec{n}_{\pi'} = 8\mathbf{i} + 11\mathbf{j} + 5\mathbf{k} = (8, 11, 5)$$ 💡 **Tip:** El vector normal a un plano es perpendicular a cualquier vector contenido en él. Por eso usamos el producto vectorial de sus dos direcciones conocidas.

Utilizamos el vector normal $\vec{n}_{\pi'} = (8, 11, 5)$ y el punto $P_r(0, 2, 2)$: $$8(x - 0) + 11(y - 2) + 5(z - 2) = 0$$ Expandimos la ecuación: $$8x + 11y - 22 + 5z - 10 = 0$$ $$8x + 11y + 5z - 32 = 0$$ También se puede obtener planteando el determinante nulo con un punto genérico $(x, y, z)$: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 2 & z - 2 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -3 & 5 \end{vmatrix} = 0$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\pi' \equiv 8x + 11y + 5z - 32 = 0}$$