Ecuación matricial y dimensiones

**a. Justifique razonadamente cuál es la dimensión de la matriz $X$. 0.5 ptos** Para determinar la dimensión de $X$, analicemos los términos de la ecuación $X \cdot A - C^t = X \cdot B$: 1. **Multiplicación $X \cdot A$:** Si la matriz $X$ tiene dimensión $m \times n$, para poder multiplicarla por $A$ ($3 \times 3$), el número de columnas de $X$ debe coincidir con el de filas de $A$. Por tanto, **$n = 3$**. 2. **Resultado de la operación:** El resultado de $X \cdot A$ y $X \cdot B$ tendrá dimensión $m \times 3$. 3. **Dimensión de $C^t$:** La matriz $C$ es de dimensión $3 \times 2$, por lo que su traspuesta $C^t$ es de dimensión **$2 \times 3$**. 4. **Igualdad matricial:** Para que la resta $X \cdot A - X \cdot B = C^t$ sea posible, todas las matrices deben tener la misma dimensión. Así, el resultado de las operaciones con $X$ debe ser $2 \times 3$, lo que implica que el número de filas de $X$ es **$m = 2$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices $(m \times n) \cdot (n \times p)$ el número de columnas de la primera debe ser igual al de filas de la segunda, y el resultado es $(m \times p)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La dimensión de } X \text{ es } 2 \times 3}$$

**b. Halle la matriz $X$ que cumple la ecuación. 2 ptos** Primero, manipulamos la ecuación para agrupar los términos con $X$ a un lado: $$X \cdot A - X \cdot B = C^t$$ Extraemos factor común $X$ por la **izquierda** (es fundamental respetar el orden en matrices): $$X \cdot (A - B) = C^t$$ Sea $D = A - B$. La ecuación queda $X \cdot D = C^t$. Si $D$ tiene inversa, despejamos $X$ multiplicando por $D^{-1}$ por la **derecha**: $$X = C^t \cdot (A - B)^{-1}$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, la división no existe. Para "pasar una matriz al otro lado", multiplicamos por su inversa manteniendo el orden (derecha o izquierda).

Calculamos $D = A - B$ restando elemento a elemento: $$D = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 9 \\ 10 & -3 & 5 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 1 & 3 & 9 \\ 10 & -3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-2 & 2-2 & 1-0 \\ 1-1 & 2-3 & 9-9 \\ 10-10 & -3-(-3) & 5-4 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{D = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

Para hallar $D^{-1}$, primero calculamos su determinante $|D|$: $$|D| = \begin{vmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Como es una matriz triangular (los elementos por debajo de la diagonal son cero), el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal: $$|D| = (-1) \cdot (-1) \cdot 1 = 1$$ Como $|D| \neq 0$, la matriz $D$ es invertible. Calculamos la matriz de adjuntos $\text{Adj}(D)$: - $Adj_{11} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $Adj_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $Adj_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $Adj_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $Adj_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$ - $Adj_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $Adj_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 1$ - $Adj_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $Adj_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1$ $$\text{Adj}(D) = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \implies (\text{Adj}(D))^t = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Como $D^{-1} = \frac{1}{|D|} (\text{Adj}(D))^t$: $$\boxed{D^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** En este caso particular, $D^{-1} = D$. Esto ocurre con matrices que son su propia inversa (matrices involutivas).

Finalmente, calculamos $X = C^t \cdot D^{-1}$. Primero hallamos $C^t$: $$C = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ -3 & -1 \\ 6 & 0 \end{pmatrix} \implies C^t = \begin{pmatrix} -1 & -3 & 6 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos: $$X = \begin{pmatrix} -1 & -3 & 6 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Operamos fila por columna: - $x_{11} = (-1)(-1) + (-3)(0) + 6(0) = 1$ - $x_{12} = (-1)(0) + (-3)(-1) + 6(0) = 3$ - $x_{13} = (-1)(1) + (-3)(0) + 6(1) = 5$ - $x_{21} = (0)(-1) + (-1)(0) + 0(0) = 0$ - $x_{22} = (0)(0) + (-1)(-1) + 0(0) = 1$ - $x_{23} = (0)(1) + (-1)(0) + 0(1) = 0$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}}$$