Integral por partes y asíntotas de una función racional

**a. Calcule: $\int_{0}^{\pi/2} x \cos x \, dx$ 1.25 ptos** Para resolver esta integral, primero calcularemos la integral indefinida utilizando el método de **integración por partes**. La fórmula de integración por partes es: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Elegimos las variables siguiendo la regla **ALPES**: - Sea $u = x \implies du = dx$ - Sea $dv = \cos x \, dx \implies v = \int \cos x \, dx = \sin x$ Sustituimos en la fórmula: $$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx$$ $$\int x \cos x \, dx = x \sin x - (-\cos x) = x \sin x + \cos x + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla ALPES para elegir $u$: Arcos, Logaritmos, Polinomios (como $x$), Exponenciales, Senos/Cosenos.

Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** para evaluar la integral definida en el intervalo $[0, \pi/2]$: $$\int_{0}^{\pi/2} x \cos x \, dx = \left[ x \sin x + \cos x \right]_{0}^{\pi/2}$$ Evaluamos en el límite superior e inferior: - Para $x = \frac{\pi}{2}$: $$\left( \frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) \right) = \frac{\pi}{2}(1) + 0 = \frac{\pi}{2}$$ - Para $x = 0$: $$(0 \cdot \sin(0) + \cos(0)) = 0 + 1 = 1$$ Restamos ambos valores: $$\int_{0}^{\pi/2} x \cos x \, dx = \frac{\pi}{2} - 1$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\int_{0}^{\pi/2} x \cos x \, dx = \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0.5708}$$

**b. Halle las asíntotas de la función: $f(x) = \frac{x^3+5x^2}{x^2-1}$ 1.25 ptos** Primero, determinamos el dominio de la función igualando el denominador a cero: $$x^2 - 1 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$$ El dominio es $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\}$. Para comprobar si hay **asíntotas verticales (AV)** en estos puntos, calculamos los límites: - En $x = 1$: $$\lim_{x \to 1} \frac{x^3+5x^2}{x^2-1} = \frac{1+5}{1-1} = \frac{6}{0} = \infty \implies \textbf{x = 1 es AV}$$ - En $x = -1$: $$\lim_{x \to -1} \frac{x^3+5x^2}{x^2-1} = \frac{-1+5}{1-1} = \frac{4}{0} = \infty \implies \textbf{x = -1 es AV}$$ 💡 **Tip:** Si el límite de una función en un punto $a$ es infinito, la recta $x=a$ es una asíntota vertical.

Buscamos **asíntotas horizontales (AH)** calculando el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3+5x^2}{x^2-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^3}{x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} x = \pm\infty$$ Como el límite es infinito, **no existen asíntotas horizontales**. 💡 **Tip:** Existe AH si el grado del numerador es menor o igual al del denominador. Si es mayor, como en este caso ($3 > 2$), no hay AH.

Dado que el grado del numerador es exactamente una unidad mayor que el del denominador, buscamos una **asíntota oblicua (AO)** de la forma $y = mx + n$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3+5x^2}{x(x^2-1)} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3+5x^2}{x^3-x} = 1$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^3+5x^2}{x^2-1} - 1 \cdot x \right)$$ $$n = \lim_{x \to \infty} \frac{x^3+5x^2 - (x^3-x)}{x^2-1} = \lim_{x \to \infty} \frac{5x^2+x}{x^2-1} = 5$$ La recta es **$y = x + 5$**. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{\text{AV: } x=1, x=-1; \quad \text{AO: } y=x+5; \quad \text{AH: No hay}}$$