Probabilidad de avisos y falsas alarmas

En primer lugar, definimos los sucesos del problema para organizar la información: * $A$: El aviso es de código **amarillo**. * $N$: El aviso es de código **naranja**. * $R$: El aviso es de código **rojo**. * $F$: El aviso es una **falsa alarma**. * $\bar{F}$: El aviso **no** es una falsa alarma. Datos proporcionados: $P(A) = 0,60$; $P(N) = 0,30$; $P(R) = 0,10$ $P(F|A) = 0,03$; $P(F|N) = 0,02$; $P(F|R) = 0,01$ Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:

**a.1) [0,5 puntos] ¿qué probabilidad hay de que se trate de una falsa alarma?** Para calcular la probabilidad de que un aviso sea una falsa alarma, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(F) = P(A) \cdot P(F|A) + P(N) \cdot P(F|N) + P(R) \cdot P(F|R)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(F) = (0,60 \cdot 0,03) + (0,30 \cdot 0,02) + (0,10 \cdot 0,01)$$ $$P(F) = 0,018 + 0,006 + 0,001 = 0,025$$ 💡 **Tip:** El teorema de la probabilidad total suma todas las ramas del árbol que terminan en el suceso deseado (en este caso, $F$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F) = 0,025}$$ *(La probabilidad de que sea una falsa alarma es del 2,5 %)*

**a.2) [0,75 puntos] Si se sabe que el aviso recibido no ha sido falsa alarma, ¿qué probabilidad hay de que haya sido un aviso código rojo o naranja?** Se trata de una probabilidad condicionada. Buscamos $P(R \cup N | \bar{F})$. Por la definición de probabilidad condicionada: $$P(R \cup N | \bar{F}) = \frac{P((R \cup N) \cap \bar{F})}{P(\bar{F})}$$ Calculamos los elementos necesarios: 1. **Denominador:** $P(\bar{F}) = 1 - P(F) = 1 - 0,025 = 0,975$. 2. **Numerador:** Al ser sucesos incompatibles (un aviso no puede ser rojo y naranja a la vez): $$P((R \cup N) \cap \bar{F}) = P(R \cap \bar{F}) + P(N \cap \bar{F})$$ $$P(R \cap \bar{F}) = P(R) \cdot P(\bar{F}|R) = 0,10 \cdot 0,99 = 0,099$$ $$P(N \cap \bar{F}) = P(N) \cdot P(\bar{F}|N) = 0,30 \cdot 0,98 = 0,294$$ $$P((R \cup N) \cap \bar{F}) = 0,099 + 0,294 = 0,393$$ Finalmente: $$P(R \cup N | \bar{F}) = \frac{0,393}{0,975} \approx 0,4031$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(R \cup N | \bar{F}) \approx 0,4031}$$

**b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que la centralita reciba 2 o menos avisos naranjas?** Al recibir $n = 9$ avisos independientes, el número de avisos naranjas $X$ sigue una **distribución Binomial**: $$X \sim B(n=9, p=0,3)$$ donde la probabilidad de éxito (ser naranja) es $p = 0,3$ y de fracaso $q = 1 - 0,3 = 0,7$. Buscamos $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$. Aplicamos la fórmula $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$: * $P(X=0) = \binom{9}{0} (0,3)^0 (0,7)^9 = 1 \cdot 1 \cdot 0,04035 \approx 0,0404$ * $P(X=1) = \binom{9}{1} (0,3)^1 (0,7)^8 = 9 \cdot 0,3 \cdot 0,05765 \approx 0,1556$ * $P(X=2) = \binom{9}{2} (0,3)^2 (0,7)^7 = 36 \cdot 0,09 \cdot 0,08235 \approx 0,2668$ Sumamos: $$P(X \le 2) = 0,0404 + 0,1556 + 0,2668 = 0,4628$$ 💡 **Tip:** El número combinatorio $\binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2 \cdot 1} = 36$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \le 2) \approx 0,4628}$$

**b.2) [0,75 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que todos los avisos sean amarillos o naranjas?** Primero, calculamos la probabilidad de que un aviso individual sea amarillo o naranja: $$P(A \cup N) = P(A) + P(N) = 0,60 + 0,30 = 0,90$$ Si llamamos $Y$ al número de avisos que son Amarillos o Naranjas, entonces $Y \sim B(n=9, p=0,9)$. Buscamos la probabilidad de que los 9 avisos cumplan esta condición: $$P(Y=9) = \binom{9}{9} (0,9)^9 (0,1)^0 = 1 \cdot (0,9)^9 \cdot 1$$ $$P(Y=9) = (0,9)^9 \approx 0,3874$$ 💡 **Tip:** Decir que "todos son amarillos o naranjas" es equivalente a decir que "ninguno es rojo". Por tanto, también podríamos calcularlo como $(1 - P(R))^9 = (0,9)^9$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(Y=9) \approx 0,3874}$$