Posición relativa de recta y plano y construcción de recta perpendicular

**a) [1,5 puntos] Calcula razonadamente el valor de los parámetros $a$ y $b$ para que la recta $s$ esté contenida en el plano $\pi$.** Primero, identificamos los vectores directores y un punto de paso para el plano $\pi$ y la recta $s$. Para el plano $\pi$ (en paramétricas): - Punto $A(-1, 1, 1)$. - Vectores directores: $\vec{u} = (0, 1, 2)$ y $\vec{v} = (1, a, -1)$. Para la recta $s$ (en implícitas): Calculamos su vector director $\vec{d}_s$ mediante el producto vectorial de los normales de sus planos: $$\vec{d}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(0) = (-2, -1, 0).$$ Podemos usar $\vec{d}_s = (2, 1, 0)$ para mayor comodidad. Para obtener un punto $Q$ de la recta $s$, fijamos $y=0$: $$x - 2(0) = 1 - b \implies x = 1 - b$$ $$z = -3$$ Así, $Q(1-b, 0, -3)$. 💡 **Tip:** Para que una recta esté contenida en un plano, su vector director debe ser perpendicular al vector normal del plano (o combinación lineal de sus directores) y cualquier punto de la recta debe pertenecer al plano.

Para que $s \subset \pi$, el vector director de la recta $\vec{d}_s$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Calculamos primero $\vec{n}_\pi$: $$\vec{n}_\pi = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & a & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-1 - 2a) - \mathbf{j}(0 - 2) + \mathbf{k}(0 - 1) = (-1 - 2a, 2, -1).$$ Imponemos la condición de perpendicularidad $\vec{d}_s \cdot \vec{n}_\pi = 0$: $$(2, 1, 0) \cdot (-1 - 2a, 2, -1) = 0$$ $$2(-1 - 2a) + 1(2) + 0(-1) = 0$$ $$-2 - 4a + 2 = 0 \implies -4a = 0 \implies \boxed{a = 0}.$$ 💡 **Tip:** Si el producto escalar es cero, los vectores son perpendiculares, lo que indica que la recta es paralela al plano o está contenida en él.

Una vez hallado $a=0$, para que $s$ esté contenida en $\pi$, el punto $Q(1-b, 0, -3)$ de la recta debe satisfacer la ecuación del plano. Sustituimos las coordenadas de $Q$ en las ecuaciones paramétricas de $\pi$ (con $a=0$): $$\begin{cases} 1 - b = -1 + \mu & (1) \\ 0 = 1 + \lambda & (2) \\ -3 = 1 + 2\lambda - \mu & (3) \end{cases}$$ De la ecuación $(2)$ obtenemos: $\lambda = -1$. Sustituimos $\lambda$ en $(3)$ para hallar $\mu$: $$-3 = 1 + 2(-1) - \mu \implies -3 = -1 - \mu \implies \mu = 2.$$ Finalmente, sustituimos $\mu$ en $(1)$: $$1 - b = -1 + 2 \implies 1 - b = 1 \implies \boxed{b = 0}.$$ ✅ **Resultado del apartado a):** Para que $s \subset \pi$, los valores deben ser **$a = 0$** y **$b = 0$**.

**b) [1 punto] Si $a = 0$ y $b = 3$, calcula razonadamente la ecuación en forma implícita de la recta $r$ que pasa por el punto $P(1, -1, -8)$ es paralela al plano $\pi$ y perpendicular a la recta $s$.** Si $r \parallel \pi$, su vector director $\vec{d}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Con $a=0$, teníamos $\vec{n}_\pi = (-1, 2, -1)$. Si $r \perp s$, su vector director $\vec{d}_r$ debe ser perpendicular al vector director de la recta $\vec{d}_s = (2, 1, 0)$. Por tanto, $\vec{d}_r$ debe ser paralelo al producto vectorial de $\vec{n}_\pi$ y $\vec{d}_s$: $$\vec{d}_r = \vec{n}_\pi \times \vec{d}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - (-1)) - \mathbf{j}(0 - (-2)) + \mathbf{k}(-1 - 4) = (1, -2, -5).$$ 💡 **Tip:** El producto vectorial de dos vectores nos da un tercero que es perpendicular a ambos simultáneamente.

Con el punto $P(1, -1, -8)$ y el vector director $\vec{d}_r = (1, -2, -5)$, escribimos la recta en forma continua: $$\frac{x - 1}{1} = rac{y + 1}{-2} = rac{z + 8}{-5}$$ Para obtener la forma implícita, igualamos de dos en dos: 1) $\frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{-2} \implies -2(x - 1) = y + 1 \implies -2x + 2 = y + 1 \implies 2x + y - 1 = 0.$ 2) $\frac{x - 1}{1} = \frac{z + 8}{-5} \implies -5(x - 1) = z + 8 \implies -5x + 5 = z + 8 \implies 5x + z + 3 = 0.$ ✅ **Resultado (ecuación implícita de r):** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} 2x + y - 1 = 0 \\ 5x + z + 3 = 0 \end{cases}}$$