Ángulo entre planos y volumen de un tetraedro

**a) [1 punto] Calcula razonadamente el ángulo que forman los dos planos.** Para calcular el ángulo entre dos planos, necesitamos sus vectores normales. El ángulo $\alpha$ entre los planos coincide con el ángulo agudo que forman sus vectores normales. Para el plano $\pi_1 \equiv 2x + y + z - 2 = 0$, el vector normal $\vec{n}_1$ se obtiene directamente de los coeficientes de las variables $x, y, z$: $$\vec{n}_1 = (2, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** Si la ecuación del plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

El plano $\pi_2$ está dado en ecuaciones paramétricas. Los coeficientes de $\lambda$ y $\mu$ nos dan dos vectores directores del plano: $$\vec{u} = (1, -1, 2) \quad \text{y} \quad \vec{v} = (-1, 1, 0)$$ El vector normal $\vec{n}_2$ se obtiene mediante el producto vectorial de sus vectores directores: $$\vec{n}_2 = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\vec{n}_2 = \vec{i}((-1)\cdot 0 - 2\cdot 1) - \vec{j}(1\cdot 0 - 2\cdot (-1)) + \vec{k}(1\cdot 1 - (-1)\cdot (-1))$$ $$\vec{n}_2 = \vec{i}(0 - 2) - \vec{j}(0 + 2) + \vec{k}(1 - 1) = (-2, -2, 0)$$ Podemos usar este vector o uno proporcional más sencillo como $\vec{n}_2 = (1, 1, 0)$ (dividendo entre $-2$), pero operaremos con el original. $$\boxed{\vec{n}_2 = (-2, -2, 0)}$$

Utilizamos la fórmula del coseno del ángulo entre dos vectores (en valor absoluto para asegurar el ángulo agudo): $$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2|}{\|\vec{n}_1\| \cdot \|\vec{n}_2\|}$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{n}_1 \cdot \vec{n}_2 = (2, 1, 1) \cdot (-2, -2, 0) = 2(-2) + 1(-2) + 1(0) = -4 - 2 + 0 = -6$$ Calculamos los módulos: $$\|\vec{n}_1\| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4+1+1} = \sqrt{6}$$ $$\|\vec{n}_2\| = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{4+4+0} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{|-6|}{\sqrt{6} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{6}{2\sqrt{12}} = \frac{3}{\sqrt{12}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Si $\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, entonces $\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30^\circ$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 30^\circ \quad \text{o} \quad \frac{\pi}{6} \text{ rad}}$$

**b) [1,5 puntos] Halla razonadamente el volumen del tetraedro formado por el punto $P(3, -3, 2)$ y los puntos de corte del plano $\pi_1$ con los ejes coordenados.** Primero, hallamos los puntos de intersección de $\pi_1 \equiv 2x + y + z - 2 = 0$ con los ejes: * **Eje OX ($y=0, z=0$):** $2x + 0 + 0 - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$. Punto **$A(1, 0, 0)$**. * **Eje OY ($x=0, z=0$):** $0 + y + 0 - 2 = 0 \implies y = 2$. Punto **$B(0, 2, 0)$**. * **Eje OZ ($x=0, y=0$):** $0 + 0 + z - 2 = 0 \implies z = 2$. Punto **$C(0, 0, 2)$**. Tenemos los cuatro vértices del tetraedro: $A(1, 0, 0)$, $B(0, 2, 0)$, $C(0, 0, 2)$ y $P(3, -3, 2)$.

El volumen de un tetraedro con vértices $A, B, C, P$ se calcula como un sexto del valor absoluto del producto mixto de los vectores $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ y $\vec{AP}$. Calculamos los vectores partiendo de $A$: $$\vec{AB} = (0-1, 2-0, 0-0) = (-1, 2, 0)$$ $$\vec{AC} = (0-1, 0-0, 2-0) = (-1, 0, 2)$$ $$\vec{AP} = (3-1, -3-0, 2-0) = (2, -3, 2)$$ Calculamos el producto mixto mediante el determinante: $$[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AP}] = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ 2 & -3 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\text{Det} = [(-1)\cdot 0 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 2 + 0 \cdot (-1) \cdot (-3)] - [2 \cdot 0 \cdot 0 + (-3) \cdot 2 \cdot (-1) + 2 \cdot (-1) \cdot 2]$$ $$\text{Det} = [0 + 8 + 0] - [0 + 6 - 4] = 8 - 2 = 6$$ El volumen es: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AP}]| = \frac{1}{6} \cdot |6| = 1$$ 💡 **Tip:** El volumen del tetraedro es $\frac{1}{6}$ del volumen del paralelepípedo definido por los mismos vectores. ✅ **Resultado:** $$\boxed{V = 1 \text{ u}^3}$$