Cálculo de integral racional y área bajo una curva

**a) [1,25 puntos] Calcula razonadamente la siguiente integral: $\int \frac{3x - 2}{x^2 - 2x + 1} dx$.** Estamos ante una **integral racional**. Primero, observamos el denominador $x^2 - 2x + 1$. Vemos que es una identidad notable: $$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$$ Como tenemos una raíz real múltiple ($x=1$ con multiplicidad 2), descomponemos la fracción en fracciones simples de la siguiente forma: $$\frac{3x - 2}{(x - 1)^2} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2}$$ Multiplicando ambos lados por $(x-1)^2$, obtenemos: $$3x - 2 = A(x - 1) + B$$ 💡 **Tip:** Para encontrar los valores de $A$ y $B$, podemos dar valores a $x$ o igualar coeficientes.

Para hallar los coeficientes en $3x - 2 = A(x - 1) + B$: - Si elegimos $x = 1$: $$3(1) - 2 = A(1 - 1) + B \implies 1 = B$$ - Si elegimos otro valor, por ejemplo $x = 0$: $$3(0) - 2 = A(0 - 1) + B \implies -2 = -A + 1 \implies A = 3$$ Por tanto, la fracción se descompone como: $$\frac{3x - 2}{(x - 1)^2} = \frac{3}{x - 1} + \frac{1}{(x - 1)^2}$$ $$\boxed{A = 3, B = 1}$$

Ahora sustituimos la descomposición en la integral original: $$\int \frac{3x - 2}{x^2 - 2x + 1} dx = \int \left( \frac{3}{x - 1} + \frac{1}{(x - 1)^2} \right) dx$$ Integramos cada término por separado: 1. $\int \frac{3}{x-1} dx = 3 \ln|x-1|$ 2. $\int \frac{1}{(x-1)^2} dx = \int (x-1)^{-2} dx = \frac{(x-1)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x-1}$ Sumando la constante de integración $C$: ✅ **Resultado (integral):** $$\boxed{\int \frac{3x - 2}{x^2 - 2x + 1} dx = 3 \ln|x-1| - \frac{1}{x-1} + C}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula, justificadamente, el área acotada del recinto limitado por la gráfica de la función $g(x) = -x^3 + 2x^2 + 3x$ y el eje de abscisas.** Para calcular el área, primero debemos encontrar los puntos donde la función corta al eje de abscisas ($g(x) = 0$): $$-x^3 + 2x^2 + 3x = 0$$ Factorizamos extrayendo factor común $-x$: $$-x(x^2 - 2x - 3) = 0$$ Esto nos da la primera solución $x = 0$. Para el paréntesis, resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}$$ Las soluciones son $x = 3$ y $x = -1$. Los puntos de corte son **$x = -1, x = 0$ y $x = 3$**. Estos definen dos intervalos de integración: $[-1, 0]$ y $[0, 3]$. $$\boxed{x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 3}$$

El área total será la suma de los valores absolutos de las integrales en cada intervalo: $$\text{Área} = \left| \int_{-1}^{0} g(x) dx \right| + \left| \int_{0}^{3} g(x) dx \right|$$ Primero calculamos la primitiva de $g(x)$: $$G(x) = \int (-x^3 + 2x^2 + 3x) dx = -\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{3x^2}{2}$$ 💡 **Tip:** El área siempre es una cantidad positiva, por eso usamos valores absolutos en cada tramo.

Aplicamos la Regla de Barrow en cada intervalo: **Intervalo 1: $[-1, 0]$** $$\int_{-1}^{0} g(x) dx = G(0) - G(-1) = 0 - \left( -\frac{(-1)^4}{4} + \frac{2(-1)^3}{3} + \frac{3(-1)^2}{2} \right)$$ $$= - \left( -\frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{3}{2} \right) = - \left( \frac{-3 - 8 + 18}{12} \right) = -\frac{7}{12}$$ El área en este tramo es $|-7/12| = 7/12$. **Intervalo 2: $[0, 3]$** $$\int_{0}^{3} g(x) dx = G(3) - G(0) = \left( -\frac{3^4}{4} + \frac{2 \cdot 3^3}{3} + \frac{3 \cdot 3^2}{2} \right) - 0$$ $$= -\frac{81}{4} + 18 + \frac{27}{2} = \frac{-81 + 72 + 54}{4} = \frac{45}{4}$$ El área en este tramo es $|45/4| = 135/12$. $$\boxed{A_1 = \frac{7}{12}, A_2 = \frac{45}{4}}$$

Sumamos ambas áreas: $$\text{Área Total} = \frac{7}{12} + \frac{45}{4} = \frac{7}{12} + \frac{135}{12} = \frac{142}{12} = \frac{71}{6} \approx 11,83 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{71}{6} \text{ unidades cuadradas}}$$