Extremos relativos y recta tangente y normal

**a) [1,5 puntos] Halla razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de la función $f(x)$ y clasifícalos.** Para hallar los extremos relativos, primero calculamos la derivada de la función $f(x)$. Como es un cociente, aplicamos la regla de la derivada de un cociente: $$f'(x) = \frac{(2x - 2)(x^2 + 1) - (x^2 - 2x + 1)(2x)}{(x^2 + 1)^2}$$ Desarrollamos el numerador: $$f'(x) = \frac{(2x^3 + 2x - 2x^2 - 2) - (2x^3 - 4x^2 + 2x)}{(x^2 + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^3 - 2x^2 + 2x - 2 - 2x^3 + 4x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^2 - 2}{(x^2 + 1)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si $h(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$, entonces $h'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2}$. $$\boxed{f'(x) = \frac{2x^2 - 2}{(x^2 + 1)^2}}$$

Los puntos críticos o candidatos a extremos relativos son aquellos donde la primera derivada es igual a cero: $$f'(x) = 0 \implies \frac{2x^2 - 2}{(x^2 + 1)^2} = 0$$ Como el denominador $(x^2 + 1)^2$ nunca es cero para valores reales de $x$, basta con igualar el numerador a cero: $$2x^2 - 2 = 0 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1$$ $$x = \pm \sqrt{1} \implies x_1 = -1, \quad x_2 = 1$$ Calculamos las ordenadas de estos puntos sustituyendo en $f(x)$: - Para $x = -1$: $f(-1) = \frac{(-1)^2 - 2(-1) + 1}{(-1)^2 + 1} = \frac{1 + 2 + 1}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2$. Punto: $(-1, 2)$. - Para $x = 1$: $f(1) = \frac{1^2 - 2(1) + 1}{1^2 + 1} = \frac{1 - 2 + 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$. Punto: $(1, 0)$. $$\boxed{\text{Puntos críticos: } (-1, 2) \text{ y } (1, 0)}$$

Estudiamos el signo de la primera derivada $f'(x) = \frac{2x^2 - 2}{(x^2 + 1)^2}$ en los intervalos definidos por los puntos críticos. El denominador siempre es positivo, por lo que el signo depende solo de $2x^2 - 2$. $$ \begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} $$ - En $(-\infty, -1)$, $f'(x) \gt 0$, la función es creciente. - En $(-1, 1)$, $f'(x) \lt 0$, la función es decreciente. - En $(1, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, la función es creciente. Por tanto: - En $x = -1$ hay un **máximo relativo**. - En $x = 1$ hay un **mínimo relativo**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (-1, 2) \text{ y Mínimo relativo en } (1, 0)}$$

**b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de la función $f(x)$ en el punto de abscisa $x = 0$.** Primero hallamos el punto de tangencia y la pendiente. 1. **Punto de tangencia:** Sustituimos $x = 0$ en $f(x)$: $$y_0 = f(0) = \frac{0^2 - 2(0) + 1}{0^2 + 1} = \frac{1}{1} = 1$$ El punto es $P(0, 1)$. 2. **Pendiente de la tangente ($m_t$):** Es el valor de la derivada en $x = 0$: $$m_t = f'(0) = \frac{2(0)^2 - 2}{(0^2 + 1)^2} = \frac{-2}{1} = -2$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente a $f(x)$ en $x=a$ es $f'(a)$.

Utilizamos la ecuación punto-pendiente: $y - y_0 = m(x - x_0)$. **Recta tangente:** Con $P(0, 1)$ y $m_t = -2$: $$y - 1 = -2(x - 0) \implies y = -2x + 1$$ **Recta normal:** La pendiente de la normal es $m_n = -\frac{1}{m_t} = -\frac{1}{-2} = \frac{1}{2}$. Con $P(0, 1)$ y $m_n = \frac{1}{2}$: $$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 0) \implies y = \frac{1}{2}x + 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la recta normal es perpendicular a la tangente, por lo que su pendiente cumple $m_n \cdot m_t = -1$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Recta tangente: } y = -2x + 1, \quad \text{Recta normal: } y = \frac{1}{2}x + 1}$$