Continuidad de una función a trozos y cálculo de límites

**a) [1,5 puntos] Determina razonadamente los puntos en los que la función es continua, calcula los puntos en los que es discontinua y clasifica el tipo de discontinuidad, si los hubiera.** Analizamos la continuidad de cada rama en sus respectivos intervalos abiertos: 1. **En $(-\infty, 2)$**: $f(x) = \frac{3}{x - 2}$. Esta función racional es continua en todo su dominio real excepto en $x = 2$. Como el intervalo es $x \lt 2$, la función es **continua** en esta rama. 2. **En $(2, 3)$**: $f(x) = \cos(\pi x)$. Es una función trigonométrica cuyo argumento es un polinomio, por lo que es **continua** en todo $\mathbb{R}$. 3. **En $(3, +\infty)$**: $f(x) = \frac{\ln(x - 2)}{3 - x}$. El logaritmo existe si $x - 2 \gt 0 \Rightarrow x \gt 2$. El denominador se anula en $x = 3$. Como el intervalo considerado es $x \gt 3$, no hay problemas de dominio aquí y la función es **continua** en esta rama. Falta estudiar los puntos de salto entre intervalos: **$x = 2$** y **$x = 3$**. 💡 **Tip:** Para que una función sea continua en un punto $a$, deben existir los límites laterales, ser iguales entre sí, e iguales al valor de la función en dicho punto: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.

Estudiamos el valor de la función y los límites laterales en $x = 2$: - **Valor de la función**: $f(2) = \cos(2\pi) = 1$. - **Límite por la izquierda**: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{3}{x - 2} = \frac{3}{0^-} = -\infty$$ - **Límite por la derecha**: $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \cos(\pi x) = \cos(2\pi) = 1$$ Al ser uno de los límites laterales infinito, existe una **discontinuidad de salto infinito** en $x = 2$. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{En } x = 2 ext{ hay una discontinuidad inevitable de salto infinito.}}$$

Estudiamos el valor de la función y los límites laterales en $x = 3$: - **Valor de la función**: $f(3) = \cos(3\pi) = -1$. - **Límite por la izquierda**: $$\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^-} \cos(\pi x) = \cos(3\pi) = -1$$ - **Límite por la derecha**: $$\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} \frac{\ln(x - 2)}{3 - x} = \frac{\ln(1)}{3 - 3} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Como obtenemos una indeterminación del tipo $0/0$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to 3^+} \frac{\frac{d}{dx}(\ln(x-2))}{\frac{d}{dx}(3-x)} = \lim_{x \to 3^+} \frac{\frac{1}{x-2}}{-1} = \frac{1}{-1} = -1$$ Como $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3) = -1$, la función es **continua en $x = 3$**. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital nos dice que $\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$ si el límite original es una indeterminación $0/0$ o $\infty/\infty$.

Tras analizar todos los puntos críticos y ramas, podemos concluir el estudio de la continuidad: La función es continua en todo su dominio excepto en el punto donde cambia de la primera a la segunda rama. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Continua en } \mathbb{R} \setminus \{2\}. \text{ Discontinuidad de salto infinito en } x = 2.}$$

**b) [1 punto] Calcula razonadamente el siguiente límite: $\lim_{x \to 0} \frac{xe^{-x}}{1 + 2x - \cos(x^2)}$.** Evaluamos el límite directamente: $$\lim_{x \to 0} \frac{xe^{-x}}{1 + 2x - \cos(x^2)} = \frac{0 \cdot e^0}{1 + 0 - \cos(0)} = \frac{0}{1 - 1} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ Como es una indeterminación $0/0$, aplicamos la **regla de L'Hôpital**. Para ello, derivamos el numerador y el denominador: - Derivada del numerador: $(x e^{-x})' = 1 \cdot e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$ - Derivada del denominador: $(1 + 2x - \cos(x^2))' = 2 - (-\sin(x^2) \cdot 2x) = 2 + 2x\sin(x^2)$ Aplicamos el límite a las derivadas: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^{-x}(1 - x)}{2 + 2x\sin(x^2)} = \frac{e^0(1 - 0)}{2 + 2(0)\sin(0)} = \frac{1 \cdot 1}{2 + 0} = \frac{1}{2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla de la cadena para derivar $\cos(x^2)$, que es $-\sin(x^2) \cdot 2x$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{xe^{-x}}{1 + 2x - \cos(x^2)} = \frac{1}{2}}$$