Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) [1,75 puntos] Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$:** Primero, escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} a & -a & -1 \\ a & -a & 0 \\ a & 2 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} a & -a & -1 & a \\ a & -a & 0 & a \\ a & 2 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} a & -a & -1 \\ a & -a & 0 \\ a & 2 & -1 \end{vmatrix} = [a \cdot (-a) \cdot (-1) + (-a) \cdot 0 \cdot a + (-1) \cdot a \cdot 2] - [(-1) \cdot (-a) \cdot a + 0 \cdot 2 \cdot a + (-a) \cdot a \cdot (-1)]$$ $$|A| = [a^2 + 0 - 2a] - [a^2 + 0 + a^2] = a^2 - 2a - 2a^2 = -a^2 - 2a$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $a$: $$-a^2 - 2a = 0 \implies -a(a + 2) = 0 \implies a = 0, \quad a = -2$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Capelli nos permite discutir el sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes ($A$) y el de la matriz ampliada ($A^*$). Si $|A| \neq 0$, el rango es máximo.

Analizamos los valores obtenidos para el determinante: **Caso 1: $a \neq 0$ y $a \neq -2$** Si $a \neq 0$ y $a \neq -2$, entonces $|A| \neq 0$. Por lo tanto, $\text{rango}(A) = 3$. Como el rango máximo de la ampliada también es 3 y coincide con el número de incógnitas: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 = \text{nº incógnitas}$$ El sistema es **Sistema Compatible Determinado (SCD)** (solución única). **Caso 2: $a = -2$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & -1 & -2 \\ -2 & 2 & 0 & -2 \\ -2 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ Notamos que la primera y la tercera fila tienen la misma parte de coeficientes pero distinto término independiente ($1 \neq -2$). Calculamos el rango de $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Calculamos el rango de $A^*$ usando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 & -2 \\ 2 & 0 & -2 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = [0 + 4 + 4] - [0 + 4 - 2] = 8 - 2 = 6 \neq 0 \implies \text{rango}(A^*) = 3$$ Como $\text{rango}(A) \neq \text{rango}(A^*)$, el sistema es **Sistema Incompatible (SI)** (no tiene solución).

**Caso 3: $a = 0$** La matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right)$$ La segunda fila es nula, por lo que no aporta información. El rango de $A$ es: $$\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} = 2 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2$$ Como la fila de ceros se mantiene en la matriz ampliada, el rango de $A^*$ también es 2: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 2 \lt 3 = \text{nº incógnitas}$$ El sistema es **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)** (infinitas soluciones). ✅ **Resumen de la discusión:** $$\boxed{\begin{cases} a \neq 0, -2: \text{SCD} \\ a = 0: \text{SCI} \\ a = -2: \text{SI} \end{cases}}$$

**b) [0,75 puntos] Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a = 2$, si es posible.** Como $a=2 \neq 0, -2$, estamos ante un **Sistema Compatible Determinado**. El sistema es: $$\begin{cases} 2x - 2y - z = 2 \quad (E_1) \\ 2x - 2y = 2 \quad (E_2) \\ 2x + 2y - z = 1 \quad (E_3) \end{cases}$$ Resolvemos por sustitución o reducción. De $(E_2)$ obtenemos: $$2x - 2y = 2 \implies x - y = 1 \implies x = 1 + y$$ Sustituimos $2x - 2y = 2$ en $(E_1)$: $$(2x - 2y) - z = 2 \implies 2 - z = 2 \implies z = 0$$ Ahora usamos $(E_3)$ con $z=0$ y la relación de $x$: $$2(1 + y) + 2y - 0 = 1 \implies 2 + 2y + 2y = 1 \implies 4y = -1 \implies y = -\frac{1}{4}$$ Finalmente, calculamos $x$: $$x = 1 + \left(-\frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4}$$ 💡 **Tip:** También podrías resolver usando la regla de Cramer, ya que $|A| = -(2)^2 - 2(2) = -8 \neq 0$ para $a=2$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = \frac{3}{4}, \ y = -\frac{1}{4}, \ z = 0}$$