Invertibilidad de una matriz con parámetros y conmutatividad

**a) [1,25 puntos] Determina razonadamente los valores de $a$ para los que la matriz $A$ no tiene inversa** Una matriz cuadrada $A$ no tiene inversa si y solo si su determinante es igual a cero. Por tanto, debemos calcular $\det(A)$ e igualarlo a cero. La matriz es: $$A = \begin{pmatrix} 1 & a + 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & a \\ a & 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es singular (no invertible) si $\det(A) = 0$.

Para calcular el determinante de orden 4, aplicamos propiedades de los determinantes para simplificar el cálculo. Observamos que las filas 3 y 4 son muy parecidas. Realizamos la operación elemental entre filas $F_4 \to F_4 - F_3$: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & a + 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & a \\ a & 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & a + 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & a \\ a & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Ahora desarrollamos por los elementos de la cuarta fila (que solo tiene un elemento distinto de cero): $$\det(A) = (-1)^{4+3} \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a + 1 & 1 \\ 0 & 2 & a \\ a & 0 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & a + 1 & 1 \\ 0 & 2 & a \\ a & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ Calculamos este determinante de orden 3 desarrollando por la tercera fila: $$\det(A) = -1 \cdot \left[ a \cdot \begin{vmatrix} a + 1 & 1 \\ 2 & a \end{vmatrix} \right] = -a \cdot [ (a + 1)a - 2 \cdot 1 ]$$ $$\det(A) = -a(a^2 + a - 2)$$ 💡 **Tip:** Desarrollar por una fila o columna con muchos ceros reduce drásticamente el número de operaciones.

Para que la matriz no tenga inversa, imponemos $\det(A) = 0$: $$-a(a^2 + a - 2) = 0$$ Esto nos da dos posibilidades: 1) $a = 0$ 2) $a^2 + a - 2 = 0$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos los valores $a = \frac{2}{2} = 1$ y $a = \frac{-4}{2} = -2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a \in \{0, 1, -2\}}$$

**b) [1,25 puntos] Calcula razonadamente todos los posibles valores $x, y, z$ para que el producto de las matrices $C = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & z \end{pmatrix}$ y $D = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$ conmute.** Dos matrices $C$ y $D$ conmutan si se cumple la igualdad: $$C \cdot D = D \cdot C$$ 💡 **Tip:** Aunque el producto de matrices no es conmutativo en general, existen casos particulares donde $CD = DC$.

Calculamos $C \cdot D$: $$C \cdot D = \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \cdot 3 + 1 \cdot 1 & x \cdot 1 + 1 \cdot (-1) \\ y \cdot 3 + z \cdot 1 & y \cdot 1 + z \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x + 1 & x - 1 \\ 3y + z & y - z \end{pmatrix}$$ Calculamos $D \cdot C$: $$D \cdot C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x & 1 \\ y & z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot x + 1 \cdot y & 3 \cdot 1 + 1 \cdot z \\ 1 \cdot x + (-1) \cdot y & 1 \cdot 1 + (-1) \cdot z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3x + y & 3 + z \\ x - y & 1 - z \end{pmatrix}$$

Igualamos término a término los resultados obtenidos: $$\begin{cases} 3x + 1 = 3x + y \implies y = 1 \\ x - 1 = 3 + z \implies x - z = 4 \\ 3y + z = x - y \\ y - z = 1 - z \implies y = 1 \end{cases}$$ Sustituimos $y = 1$ en la tercera ecuación para comprobar consistencia: $$3(1) + z = x - 1 \implies 3 + z = x - 1 \implies x - z = 4$$ La ecuación $x - z = 4$ es la misma en ambos casos, lo que indica que hay infinitas soluciones que dependen de uno de los parámetros. Podemos expresar $z$ en función de $x$: $$z = x - 4$$ Por lo tanto, para cualquier valor de $x$, las matrices conmutarán siempre que $y$ y $z$ cumplan esas condiciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 1, \quad z = x - 4, \quad \forall x \in \mathbb{R}}$$