Probabilidad y Estadística 2020 Castilla la Mancha
Probabilidad total, Teorema de Bayes y Distribución Normal
8. a) El 70 % de los usuarios de instagram tiene menos de 34 años, el 25 % entre 34 y 54 años (ambos incluidos) y el 5 % más de 54 años. Se sabe que acceden a diario a dicha red: el 98 % de los menores de 34 años, el 40 % de los usuarios entre 34 y 54 años (ambos incluidos) y el 10 % de los mayores de 54 años. Si se selecciona un usuario al azar:
a.1) [0,5 puntos] ¿qué probabilidad hay de que no acceda a diario a dicha red social?
a.2) [0,75 puntos] Si el usuario seleccionado al azar confiesa que accede diariamente, ¿qué probabilidad hay de que pertenezca al grupo que tiene entre 34 y 54 años (ambos incluidos)?
b) El tiempo que un usuario de la red instagram pasa conectado a diario a dicha red social sigue una ley normal de media 53 minutos y desviación típica 10 minutos.
b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que un usuario seleccionado al azar se conecte más de 30 minutos al día?
b.2) [0,75 puntos] ¿Qué porcentaje de usuarios (tanto por ciento) se conectan entre 40 y 67 minutos al día?
Paso 1
Definición de sucesos y esquema del árbol de probabilidad
**a.1) [0,5 puntos] ¿qué probabilidad hay de que no acceda a diario a dicha red social?**
Primero, definimos los sucesos según los grupos de edad y la frecuencia de acceso:
- $G_1$: Usuario menor de 34 años.
- $G_2$: Usuario entre 34 y 54 años.
- $G_3$: Usuario mayor de 54 años.
- $A$: El usuario accede a diario.
- $\bar{A}$: El usuario **no** accede a diario.
Extraemos los datos del enunciado:
- $P(G_1) = 0.70$
- $P(G_2) = 0.25$
- $P(G_3) = 0.05$
- $P(A|G_1) = 0.98 \implies P(\bar{A}|G_1) = 0.02$
- $P(A|G_2) = 0.40 \implies P(\bar{A}|G_2) = 0.60$
- $P(A|G_3) = 0.10 \implies P(\bar{A}|G_3) = 0.90$
Representamos la situación con un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de no acceder a diario
Para hallar $P(\bar{A})$ aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**, sumando las probabilidades de todas las ramas que terminan en $\bar{A}$:
$$P(\bar{A}) = P(G_1) \cdot P(\bar{A}|G_1) + P(G_2) \cdot P(\bar{A}|G_2) + P(G_3) \cdot P(\bar{A}|G_3)$$
Sustituimos los valores:
$$P(\bar{A}) = (0.70 \cdot 0.02) + (0.25 \cdot 0.60) + (0.05 \cdot 0.90)$$
$$P(\bar{A}) = 0.014 + 0.15 + 0.045 = 0.209$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que parten de un mismo nodo debe ser siempre $1$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{A}) = 0.209}$$
Paso 3
Aplicación del Teorema de Bayes
**a.2) [0,75 puntos] Si el usuario seleccionado al azar confiesa que accede diariamente, ¿qué probabilidad hay de que pertenezca al grupo que tiene entre 34 y 54 años (ambos incluidos)?**
Nos piden una probabilidad condicionada: la probabilidad de que pertenezca al grupo $G_2$ sabiendo que accede a diario ($A$). Usamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(G_2|A) = \frac{P(G_2) \cdot P(A|G_2)}{P(A)}$$
Primero calculamos $P(A)$, que es el suceso contrario a no acceder a diario:
$$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 0.209 = 0.791$$
Ahora aplicamos la fórmula:
$$P(G_2|A) = \frac{0.25 \cdot 0.40}{0.791} = \frac{0.1}{0.791} \approx 0.1264$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite calcular la probabilidad de una 'causa' dado un 'efecto' observado.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(G_2|A) \approx 0.1264}$$
Paso 4
Distribución Normal: Conexión más de 30 minutos
**b.1) [0,5 puntos] ¿Qué probabilidad hay de que un usuario seleccionado al azar se conecte más de 30 minutos al día?**
Sea $X$ la variable aleatoria "tiempo de conexión diario en minutos". Según el enunciado:
$$X \sim N(\mu=53, \sigma=10)$$
Para calcular probabilidades en una normal, debemos **tipificar** la variable para pasar a una $Z \sim N(0,1)$ usando la fórmula $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$:
$$P(X \gt 30) = P\left( Z \gt \frac{30 - 53}{10} \right) = P(Z \gt -2.3)$$
Por simetría de la campana de Gauss:
$$P(Z \gt -2.3) = P(Z \lt 2.3)$$
Buscamos el valor $2.3$ en la tabla de la distribución normal estándar:
$$P(Z \lt 2.3) = 0.9893$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(X \gt 30) = 0.9893}$$
Paso 5
Distribución Normal: Porcentaje entre 40 y 67 minutos
**b.2) [0,75 puntos] ¿Qué porcentaje de usuarios (tanto por ciento) se conectan entre 40 y 67 minutos al día?**
Calculamos la probabilidad $P(40 \le X \le 67)$ tipificando ambos valores:
$$P(40 \le X \le 67) = P\left( \frac{40 - 53}{10} \le Z \le \frac{67 - 53}{10} \right)$$
$$P(-1.3 \le Z \le 1.4) = P(Z \le 1.4) - P(Z \le -1.3)$$
Para el valor negativo, usamos la propiedad $P(Z \le -k) = 1 - P(Z \le k)$:
$$P(Z \le 1.4) - [1 - P(Z \le 1.3)]$$
Consultamos los valores en la tabla:
- $P(Z \le 1.4) = 0.9192$
- $P(Z \le 1.3) = 0.9032$
Sustituimos:
$$0.9192 - (1 - 0.9032) = 0.9192 - 0.0968 = 0.8224$$
Para dar el resultado en porcentaje, multiplicamos por 100:
$$0.8224 \cdot 100 = 82.24\%$$
💡 **Tip:** Al buscar en la tabla, asegúrate de estar en la fila y columna correcta (por ejemplo, para $1.4$ es la fila de $1.4$ y la columna de $0.00$).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{82.24\%}$$