Posición relativa de dos rectas y ecuación del plano paralelo

**a) [1,25 puntos] Determina razonadamente la posición relativa de las rectas $r$ y $s$.** Para estudiar la posición relativa, primero obtenemos un punto $R$ y un vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$. La recta $r$ viene dada por sus ecuaciones implícitas: $$r \equiv \begin{cases} 2x - 2y = 4 \\ z = 0 \end{cases}$$ Podemos simplificar la primera ecuación dividiendo por 2: $x - y = 2$. Para hallar el vector director $\vec{v}_r$, realizamos el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $$\vec{n}_1 = (1, -1, 0), \quad \vec{n}_2 = (0, 0, 1)$$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(-1) - \vec{j}(1) + \vec{k}(0) = (-1, -1, 0)$$ Podemos usar como vector director $\vec{v}_r = (1, 1, 0)$. Para hallar un punto $R$ de la recta, damos un valor a una de las variables. Si $y = 0$, de $x - y = 2$ obtenemos $x = 2$. Como $z = 0$, el punto es: $$R(2, 0, 0)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta en implícitas también se puede obtener encontrando dos puntos de la recta o simplemente resolviendo el sistema dejando una variable como parámetro.

La recta $s$ viene dada en su forma continua: $$s \equiv \frac{x}{3} = \frac{y + 2}{-2} = \frac{z - 1}{1}$$ De aquí extraemos directamente el vector director $\vec{v}_s$ y un punto $S$: Vector director: $$\vec{v}_s = (3, -2, 1)$$ Punto: $$\boxed{S(0, -2, 1)}$$

Primero comparamos los vectores directores $\vec{v}_r = (1, 1, 0)$ y $\vec{v}_s = (3, -2, 1)$. Como sus componentes no son proporcionales ($\frac{1}{3} \neq \frac{1}{-2}$), las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Para distinguir si se cortan o se cruzan, calculamos el determinante formado por $\vec{v}_r$, $\vec{v}_s$ y el vector $\vec{RS}$ que une un punto de cada recta. Calculamos $\vec{RS}$: $$\vec{RS} = S - R = (0 - 2, -2 - 0, 1 - 0) = (-2, -2, 1)$$ Ahora calculamos el determinante por la regla de Sarrus: $$\det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{RS}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \\ -2 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ $$= [1 \cdot (-2) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-2) + 0 \cdot 3 \cdot (-2)] - [0 \cdot (-2) \cdot (-2) + 1 \cdot 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 3 \cdot 1]$$ $$= [-2 - 2 + 0] - [0 - 2 + 3] = -4 - (1) = -5$$ Como el determinante es distinto de cero ($-5 \neq 0$), los tres vectores son linealmente independientes. Esto significa que las rectas están en planos diferentes y no tienen puntos en común. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**b) [1,25 puntos] Halla razonadamente la ecuación general del plano que pasa por el punto $P$ y es paralelo a las rectas $r$ y $s$.** Si el plano $\pi$ es paralelo a las rectas $r$ y $s$, los vectores directores de dichas rectas, $\vec{v}_r = (1, 1, 0)$ y $\vec{v}_s = (3, -2, 1)$, son paralelos al plano. Utilizamos el punto $P(-1, 0, 2)$ y los dos vectores directores para escribir la ecuación del plano en forma de determinante: $$\begin{vmatrix} x - (-1) & y - 0 & z - 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ $$\begin{vmatrix} x + 1 & y & z - 2 \\ 1 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante (por ejemplo, por la primera fila): $$(x + 1) \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} - y \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + (z - 2) \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = 0$$ $$(x + 1)(1 - 0) - y(1 - 0) + (z - 2)(-2 - 3) = 0$$ $$(x + 1) - y - 5(z - 2) = 0$$ $$x + 1 - y - 5z + 10 = 0$$ Simplificando obtenemos la ecuación general: $$x - y - 5z + 11 = 0$$ 💡 **Tip:** El vector normal del plano $\vec{n}$ también se podría haber hallado mediante el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{v}_s$, y luego obligando a que pase por $P$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - y - 5z + 11 = 0}$$