Distancia a plano e intersección con área de triángulo

**a) [1 punto] Calcula razonadamente la distancia del punto $P(1, 2, -1)$ al plano $\pi$.** Para calcular la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $\pi \equiv Ax + By + Cz + D = 0$, utilizamos la fórmula general: $$d(P, \pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En este caso, tenemos el punto $P(1, 2, -1)$ y el plano $\pi \equiv x + 2y - z - 4 = 0$, donde los coeficientes son $A=1$, $B=2$, $C=-1$ y $D=-4$. Sustituimos los valores en la fórmula: $$d(P, \pi) = \frac{|1(1) + 2(2) - 1(-1) - 4|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2}}$$ Operamos en el numerador y el denominador: $$d(P, \pi) = \frac{|1 + 4 + 1 - 4|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$$ Racionalizamos multiplicando por $\sqrt{6}$ arriba y abajo: $$d(P, \pi) = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia siempre debe ser un valor positivo, por eso se utiliza el valor absoluto en el numerador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(P, \pi) = \frac{\sqrt{6}}{3} \text{ unidades}}$$

**b) [1,5 puntos] Calcula razonadamente el área del triángulo que forman el punto intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$, y los puntos $B(1, -1, 2)$ y $C(0, 1, 1)$.** Primero debemos encontrar el punto de intersección $A$ entre la recta $r$ y el plano $\pi$. Para ello, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas. De las ecuaciones implícitas de $r$: 1. $x - 2y - 2 = 0 \implies x = 2 + 2y$ 2. $y - z - 2 = 0 \implies z = y - 2$ Si llamamos $\lambda$ a la variable $y$, obtenemos las ecuaciones paramétricas de $r$: $$r \equiv \begin{cases} x = 2 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = -2 + \lambda \end{cases}$$ Ahora sustituimos estas expresiones en la ecuación del plano $\pi \equiv x + 2y - z - 4 = 0$: $$(2 + 2\lambda) + 2(\lambda) - (-2 + \lambda) - 4 = 0$$ Resolvemos la ecuación para $\lambda$: $$2 + 2\lambda + 2\lambda + 2 - \lambda - 4 = 0$$ $$3\lambda = 0 \implies \lambda = 0$$ Sustituyendo $\lambda = 0$ en las ecuaciones de la recta, obtenemos el punto $A$: $$A = (2 + 2(0), 0, -2 + 0) = (2, 0, -2)$$ ✅ **Punto de intersección:** $$\boxed{A(2, 0, -2)}$$

Para calcular el área del triángulo formado por los puntos $A(2, 0, -2)$, $B(1, -1, 2)$ y $C(0, 1, 1)$, utilizaremos los vectores $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$ que parten del vértice $A$. Calculamos las componentes de los vectores: $$\vec{AB} = B - A = (1 - 2, -1 - 0, 2 - (-2)) = (-1, -1, 4)$$ $$\vec{AC} = C - A = (0 - 2, 1 - 0, 1 - (-2)) = (-2, 1, 3)$$ 💡 **Tip:** El área de un triángulo de vértices $A, B, C$ se calcula como la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que compartan un origen: $\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$

Calculamos el producto vectorial $\vec{v} = \vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante resuelto por Sarrus: $$\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & -1 & 4 \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos el determinante: $$\vec{v} = \vec{i} [(-1) \cdot 3 - 4 \cdot 1] - \vec{j} [(-1) \cdot 3 - 4 \cdot (-2)] + \vec{k} [(-1) \cdot 1 - (-1) \cdot (-2)]$$ $$\vec{v} = \vec{i} [-3 - 4] - \vec{j} [-3 + 8] + \vec{k} [-1 - 2]$$ $$\vec{v} = -7\vec{i} - 5\vec{j} - 3\vec{k} = (-7, -5, -3)$$ Calculamos ahora el módulo de este vector: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-7)^2 + (-5)^2 + (-3)^2}$$ $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{49 + 25 + 9} = \sqrt{83}$$

Finalmente, aplicamos la fórmula del área del triángulo: $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}| = \frac{\sqrt{83}}{2}$$ Podemos dejar el resultado en forma exacta o aproximada: $$\text{Área} \approx 4.555 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{\sqrt{83}}{2} \text{ unidades cuadradas}}$$