Cálculo de integral indefinida y área entre curvas

**a) [1,25 punto] Calcula razonadamente la siguiente integral: $\int \frac{-dx}{1 + e^x}$.** Siguiendo la sugerencia del enunciado, realizamos el cambio de variable $e^x = t$. Para ello, calculamos la relación entre los diferenciales: Si $t = e^x$, entonces derivando respecto a $x$ tenemos: $$\frac{dt}{dx} = e^x \implies dt = e^x \, dx$$ Como $e^x = t$, podemos despejar $dx$: $$dx = \frac{dt}{t}$$ Sustituimos ahora en la integral original: $$I = \int \frac{-1}{1 + e^x} \, dx = \int \frac{-1}{1 + t} \cdot \frac{dt}{t} = \int \frac{-dt}{t(1+t)}$$ 💡 **Tip:** Al realizar un cambio de variable, no olvides sustituir siempre el diferencial $dx$ por su expresión correspondiente en la nueva variable.

Para resolver la integral $\int \frac{-1}{t(t+1)} \, dt$, descomponemos el integrando en fracciones simples: $$\frac{-1}{t(t+1)} = \frac{A}{t} + \frac{B}{t+1}$$ Multiplicamos por el denominador común $t(t+1)$ para obtener la identidad: $$-1 = A(t+1) + Bt$$ Calculamos los valores de $A$ y $B$ dando valores a $t$: - Si $t = 0$: $-1 = A(0+1) + B(0) \implies \mathbf{A = -1}$. - Si $t = -1$: $-1 = A(0) + B(-1) \implies -1 = -B \implies \mathbf{B = 1}$. Por tanto, la integral se desglosa en: $$I = \int \left( \frac{-1}{t} + \frac{1}{t+1} \right) dt$$

Integramos cada término por separado (ambas son del tipo logarítmico): $$I = -\ln|t| + \ln|t+1| + C$$ Utilizando las propiedades de los logaritmos ($\ln a - \ln b = \ln\frac{a}{b}$): $$I = \ln\left| \frac{t+1}{t} \right| + C$$ Finalmente, deshacemos el cambio de variable $t = e^x$: $$I = \ln\left| \frac{e^x+1}{e^x} \right| + C$$ Dado que $e^x > 0$, podemos prescindir de los valores absolutos: $$I = \ln(e^x+1) - \ln(e^x) + C = \ln(e^x+1) - x + C$$ ✅ **Resultado final del apartado a):** $$\boxed{ \int \frac{-dx}{1 + e^x} = \ln(e^x+1) - x + C }$$

**b) [1,25 puntos] Determina justificadamente el área acotada que encierran las gráficas de las funciones $f(x) = -x^2 + 2x + 4$ y $g(x) = x + 2$.** Para determinar los límites de integración, buscamos los puntos de intersección igualando ambas funciones: $$f(x) = g(x) \implies -x^2 + 2x + 4 = x + 2$$ Reordenamos la ecuación para obtener una ecuación de segundo grado: $$-x^2 + x + 2 = 0 \implies x^2 - x - 2 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ Las soluciones son: $$x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1$$ Los puntos de corte son **$x = -1$** y **$x = 2$**.

Para calcular el área, debemos saber qué función está por encima de la otra en el intervalo $(-1, 2)$. Tomamos un valor de prueba, por ejemplo $x = 0$: - $f(0) = -0^2 + 2(0) + 4 = 4$ - $g(0) = 0 + 2 = 2$ Como $f(0) > g(0)$, la parábola $f(x)$ está por encima de la recta $g(x)$ en este intervalo. El área $A$ viene dada por la integral definida: $$A = \int_{-1}^{2} [f(x) - g(x)] \, dx = \int_{-1}^{2} [(-x^2 + 2x + 4) - (x + 2)] \, dx$$ $$A = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas siempre es la integral de la función superior menos la inferior.

Calculamos la primitiva de la función: $$F(x) = \int (-x^2 + x + 2) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites $2$ y $-1$: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=2$): $$F(2) = -\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2(2) = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = -\frac{8}{3} + 6 = \frac{-8 + 18}{3} = \frac{10}{3}$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=-1$): $$F(-1) = -\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2(-1) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2 = \frac{2 + 3 - 12}{6} = -\frac{7}{6}$$ Calculamos la diferencia: $$A = F(2) - F(-1) = \frac{10}{3} - \left( -\frac{7}{6} \right) = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final del apartado b):** $$\boxed{ \text{Área} = 4,5 \text{ unidades de superficie} }$$