Optimización de superficie y recta tangente

**a) [1,5 puntos] Calcula las dimensiones de una caja de base cuadrada (prisma cuadrangular) sin tapa superior y con un volumen de $108 \text{ dm}^3$ para que la superficie total de la caja (formada por las caras laterales y la base) sea mínima.** Primero, definimos las variables de nuestro prisma de base cuadrada: - $x$: longitud del lado de la base cuadrada (en dm). - $h$: altura de la caja (en dm). El enunciado nos da el **volumen** de la caja: $$V = x^2 \cdot h = 108$$ De aquí podemos despejar la altura $h$ en función de $x$: $$h = \frac{108}{x^2}$$ La función que queremos minimizar es la **superficie total** $S$. Al no tener tapa superior, la superficie consta de la base ($x^2$) y cuatro caras laterales iguales ($4 \cdot x \cdot h$): $$S(x, h) = x^2 + 4xh$$ Sustituimos $h$ para tener la función en términos de una sola variable: $$S(x) = x^2 + 4x \left( \frac{108}{x^2} \right) = x^2 + \frac{432}{x}$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, siempre identifica la restricción (volumen) para despejar una variable y sustituirla en la función a optimizar (superficie).

Para hallar el mínimo de la función $S(x) = x^2 + 432x^{-1}$, calculamos su primera derivada: $$S'(x) = 2x - \frac{432}{x^2}$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: $$2x - \frac{432}{x^2} = 0 \implies 2x = \frac{432}{x^2} \implies 2x^3 = 432$$ $$x^3 = 216 \implies x = \sqrt[3]{216} = 6$$ Como estamos hablando de dimensiones físicas, el dominio de nuestra función es $x \in (0, +\infty)$, por lo que $x = 6$ es un valor válido. 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\frac{k}{x}$ es $-\frac{k}{x^2}$. Esto agiliza mucho los cálculos en optimización.

Para confirmar que en $x = 6$ hay un mínimo, usamos la segunda derivada: $$S''(x) = 2 + \frac{864}{x^3}$$ Sustituimos el valor crítico: $$S''(6) = 2 + \frac{864}{6^3} = 2 + \frac{864}{216} = 2 + 4 = 6$$ Como **$S''(6) \gt 0$**, confirmamos que la superficie es **mínima** cuando el lado de la base es $6 \text{ dm}$. Calculamos ahora la altura $h$: $$h = \frac{108}{6^2} = \frac{108}{36} = 3 \text{ dm}$$ ✅ **Resultado (Dimensiones):** $$\boxed{\text{Base: } 6 \text{ dm} \times 6 \text{ dm}, \quad \text{Altura: } 3 \text{ dm}}$$

**b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x) = x^2 + x - 1$ en el punto de abscisa $x = 1$.** La ecuación de la recta tangente en un punto $x = a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ 1. Calculamos la ordenada del punto sustituyendo $x = 1$ en la función original: $$f(1) = 1^2 + 1 - 1 = 1$$ El punto de tangencia es **$(1, 1)$**. 2. Calculamos la derivada de la función para hallar la pendiente: $$f'(x) = 2x + 1$$ 3. Evaluamos la derivada en $x = 1$ para obtener la pendiente $m$: $$m = f'(1) = 2(1) + 1 = 3$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente en un punto coincide con el valor de la derivada de la función en dicho punto.

Sustituimos el punto $(1, 1)$ y la pendiente $m = 3$ en la fórmula punto-pendiente: $$y - 1 = 3(x - 1)$$ Despejamos la ecuación en su forma explícita: $$y - 1 = 3x - 3 \implies y = 3x - 2$$ ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = 3x - 2}$$