Límites y continuidad de una función a trozos

**a) [1 punto] Calcula razonadamente el siguiente límite: $\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\text{sen}(2x)} \right)$.** Evaluamos el límite directamente: $$\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\text{sen}(2x)} \right) = \frac{1}{0} - \frac{1}{\text{sen}(0)} = \infty - \infty$$ Para resolver esta indeterminación, combinamos las fracciones buscando un denominador común: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{\text{sen}(2x) - x}{x \cdot \text{sen}(2x)}$$ Si volvemos a evaluar cuando $x \to 0$: $$\frac{\text{sen}(0) - 0}{0 \cdot \text{sen}(0)} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, por lo que podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** Cuando tengas una resta de fracciones que genera $\infty - \infty$, el primer paso siempre es unirlas en una sola fracción para intentar aplicar L'Hôpital.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Numerador: $(\text{sen}(2x) - x)' = 2\cos(2x) - 1$ - Denominador: $(x \cdot \text{sen}(2x))' = 1 \cdot \text{sen}(2x) + x \cdot (2\cos(2x)) = \text{sen}(2x) + 2x\cos(2x)$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 0^+} \frac{2\cos(2x) - 1}{\text{sen}(2x) + 2x\cos(2x)}$$ Ahora evaluamos el límite cuando $x \to 0^+$: - Numerador: $2\cos(0) - 1 = 2(1) - 1 = 1$ - Denominador: $\text{sen}(0) + 2(0)\cos(0) = 0 + 0 = 0$ Como el numerador tiende a $1$ y el denominador tiende a $0$, el límite es infinito. Debemos comprobar el signo del denominador cuando $x \to 0^+$. Puesto que $x$ es positivo y pequeño, $\text{sen}(2x)$ y $2x\cos(2x)$ son positivos, por lo que el denominador se acerca a $0$ por la derecha ($0^+$). $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{0^+} = +\infty$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\lim_{x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{\text{sen}(2x)} \right) = +\infty}$$

**b) [1,5 puntos] Dada la función $f(x) = \begin{cases} 2^{(x-1)} & \text{si } x \le 1 \\ x - 2 & \text{si } 1 \lt x \lt 2 \\ \ln (x - 1) & \text{si } x \ge 2 \end{cases}$, estudia la continuidad en $x = 1$ y en $x = 2$.** Para que una función sea continua en $x = a$, se debe cumplir que $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. **En $x = 1$:** 1. Valor de la función: $f(1) = 2^{1-1} = 2^0 = 1$. 2. Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1} 2^{x-1} = 2^0 = 1$. 3. Límite por la derecha: $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1} (x - 2) = 1 - 2 = -1$. Como los límites laterales son finitos pero distintos ($1 \neq -1$), existe un **salto entre ramas**. ✅ **Resultado en $x=1$:** $$\boxed{\text{Discontinuidad inevitable de salto finito en } x = 1. \text{ El salto es de } |1 - (-1)| = 2.}$$

**En $x = 2$:** 1. Valor de la función: $f(2) = \ln(2 - 1) = \ln(1) = 0$. 2. Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2} (x - 2) = 2 - 2 = 0$. 3. Límite por la derecha: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2} \ln(x - 1) = \ln(1) = 0$. Como los límites laterales coinciden y son iguales al valor de la función ($0 = 0 = 0$), la función es continua en ese punto. ✅ **Resultado en $x=2$:** $$\boxed{\text{La función } f(x) \text{ es continua en } x = 2.}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para clasificar la discontinuidad, si los límites laterales son números reales distintos, el salto es finito. Si alguno es infinito, la discontinuidad es de salto infinito.