Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) [1,75 puntos] Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $a \in \mathbb{R}$:** Para discutir el sistema, representamos las ecuaciones en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & a & 2 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & a & a \\ 1 & a & 2 & a \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ utilizando la regla de Sarrus para encontrar los valores críticos de $a$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & a & 2 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = [1\cdot a\cdot 1 + 2\cdot 2\cdot (-1) + 1\cdot 1\cdot a] - [a\cdot a\cdot (-1) + 2\cdot 1\cdot 1 + 1\cdot 2\cdot 1]$$ $$|A| = [a - 4 + a] - [-a^2 + 2 + 2] = 2a - 4 + a^2 - 4 = a^2 + 2a - 8$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3\times 3$ nos permite determinar para qué valores del parámetro el rango de la matriz es máximo (igual a 3).

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores que cambian el comportamiento del sistema: $$a^2 + 2a - 8 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: - $a_1 = \frac{4}{2} = 2$ - $a_2 = \frac{-8}{2} = -4$ Estos son los valores que debemos estudiar por separado mediante el **Teorema de Rouché-Frobenius**.

Si $a \neq 2$ y $a \neq -4$, entonces el determinante de la matriz $A$ es distinto de cero ($|A| \neq 0$). En este caso: - $\text{rang}(A) = 3$ - $\text{rang}(A^*) = 3$ (ya que no puede ser mayor que el número de filas ni menor que $\text{rang}(A)$) - Número de incógnitas = 3 Como $\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 3$, según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una **solución única**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 2, -4 \implies \text{Sistema Compatible Determinado}}$$

Sustituimos $a = 2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 2 & 2 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que las filas 1 y 2 son idénticas, por lo que podemos prescindir de una de ellas. Además, vemos que la columna 1 y la columna de términos independientes son proporcionales (o iguales en este caso). Calculamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - (-2) = 3 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Como la primera y segunda fila de $A^*$ son iguales, cualquier determinante de orden 3 que incluya a ambas será cero. Al ser la columna de términos independientes igual a la primera columna, el rango de la ampliada no aumentará: $$\text{rang}(A) = \text{rang}(A^*) = 2 < 3 \text{ (nº de incógnitas)}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, con infinitas soluciones. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = 2 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado}}$$

Sustituimos $a = -4$ en la matriz ampliada: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -4 & -4 \\ 1 & -4 & 2 & -4 \\ -1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) < 3$. Tomamos un menor de orden 2 en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = -4 - 2 = -6 \neq 0 \implies \text{rang}(A) = 2$$ Calculamos ahora el rango de $A^*$ comprobando un determinante de orden 3 que incluya la columna de términos independientes (por ejemplo, usando las columnas 1, 2 y 4): $$\begin{vmatrix} 1 & 2 & -4 \\ 1 & -4 & -4 \\ -1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = [-4 + 8 - 4] - [-16 - 4 + 2] = 0 - (-18) = 18 \neq 0$$ Como el determinante es distinto de cero, $\text{rang}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**, es decir, no tiene solución. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = -4 \implies \text{Sistema Incompatible}}$$

**b) [0,75 puntos] Resuelve razonadamente el sistema anterior para $a = 2$, si es posible.** Como hemos visto en el apartado anterior, para $a = 2$ el sistema es **Compatible Indeterminado**. El sistema original se reduce a dos ecuaciones linealmente independientes (ya que la primera y la segunda son iguales): $$\begin{cases} x + 2y + 2z = 2 \\ -x + y + z = 1 \end{cases}$$ Para resolverlo, parametrizamos una de las variables. Sea $z = \lambda$: 1) $x + 2y = 2 - 2\lambda$ 2) $-x + y = 1 - \lambda$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar la $x$: $$(x - x) + (2y + y) = (2 - 2\lambda) + (1 - \lambda) \implies 3y = 3 - 3\lambda \implies y = 1 - \lambda$$ Sustituimos $y$ en la segunda ecuación para hallar $x$: $$-x + (1 - \lambda) = 1 - \lambda \implies -x = 0 \implies x = 0$$ 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, las soluciones dependen de un solo parámetro ($3 - 2 = 1$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Solución para } a=2: \begin{cases} x = 0 \\ y = 1 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases} \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$