Matrices e Inversa. Ecuación Matricial

**a) [1 punto] Calcula razonadamente la matriz inversa de $A$.** Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos $|A|$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix} = (0 \cdot 0 \cdot 0) + (1 \cdot (-2) \cdot 0) + (1 \cdot 1 \cdot (-1)) - [ (0 \cdot 0 \cdot 1) + ((-1) \cdot (-2) \cdot 0) + (0 \cdot 1 \cdot 1) ]$$ $$|A| = (0 + 0 - 1) - (0 + 0 + 0) = -1$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, existe la matriz inversa $A^{-1}$. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz cuadrada es regular (tiene inversa) si y solo si su determinante es no nulo.

Calculamos la matriz de los adjuntos de $A$, $Adj(A)$: $$\begin{aligned} A_{11} &= +\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -2; & A_{12} &= -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0; & A_{13} &= +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = -1 \\ A_{21} &= -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = -1; & A_{22} &= +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0; & A_{23} &= -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 0 \\ A_{31} &= +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -2; & A_{32} &= -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 1; & A_{33} &= +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \end{aligned}$$ La matriz adjunta es $Adj(A) = \begin{pmatrix} -2 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & -1 \end{pmatrix}$. Ahora aplicamos la fórmula $A^{-1} = \dfrac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} -2 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}}$$

**b) [1,5 puntos] Calcula razonadamente la matriz $X$ de la ecuación matricial $AX + I_3 = BC$, donde $I_3$ es la matriz identidad.** Primero, despejamos la matriz $X$ en la ecuación: 1. Restamos $I_3$ en ambos miembros: $AX = BC - I_3$ 2. Multiplicamos por $A^{-1}$ por la izquierda: $A^{-1}AX = A^{-1}(BC - I_3)$ 3. Como $A^{-1}A = I$, obtenemos: $X = A^{-1}(BC - I_3)$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de la multiplicación es fundamental. Si multiplicas por la izquierda en un lado del igual, debes multiplicar por la izquierda en el otro.

Calculamos el producto $BC$. $B$ es $3 \times 2$ y $C$ es $2 \times 3$, por lo que $BC$ será una matriz $3 \times 3$: $$BC = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+4 & 1+0 & 1-4 \\ 0-2 & 0+0 & 0+2 \\ 1-2 & 1+0 & 1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -3 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos la matriz $D = BC - I_3$: $$D = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -3 \\ -2 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 & -3 \\ -2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para restar matrices, simplemente resta los elementos que ocupan la misma posición.

Finalmente, calculamos $X = A^{-1}D$: $$X = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 1 & -3 \\ -2 & -1 & 2 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 2(4)+1(-2)+2(-1) & 2(1)+1(-1)+2(1) & 2(-3)+1(2)+2(2) \\ 0(4)+0(-2)-1(-1) & 0(1)+0(-1)-1(1) & 0(-3)+0(2)-1(2) \\ 1(4)+0(-2)+1(-1) & 1(1)+0(-1)+1(1) & 1(-3)+0(2)+1(2) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} 8-2-2 & 2-1+2 & -6+2+4 \\ 1 & -1 & -2 \\ 4-1 & 1+1 & -3+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 0 \\ 1 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & -1 \end{pmatrix}}$$