Probabilidad y Estadística 2020 Castilla y Leon
Probabilidad de titulación en Medicina por Comunidades Autónomas
E10.- (Probabilidad y estadística)
Los estudiantes, que comienzan los estudios de Medicina, en el conjunto formado por las comunidades autónomas de Andalucía, Baleares y Castilla y León, se distribuyen de la siguiente forma: un 50% de Andalucía, un 15% de Baleares y un 35% provienen de Castilla y León. Los porcentajes de dichos estudiantes que no consiguen el título de Médico son los siguientes: 15% de Andalucía, 10% de Baleares y 5% de Castilla y León
a) Calcular la probabilidad de que uno de dichos estudiantes, elegido al azar, no consiga el título de Licenciado en Medicina. (1 punto)
b) Si un alumno no consigue el título de Licenciado en Medicina, ¿es más probable que provenga de Andalucía o de Castilla y León? (1 punto)
Paso 1
Definición de sucesos y organización de datos
**a) Calcular la probabilidad de que uno de dichos estudiantes, elegido al azar, no consiga el título de Licenciado en Medicina.**
En primer lugar, definimos los sucesos principales basados en la procedencia del estudiante y su éxito académico:
- $A$: El estudiante proviene de Andalucía.
- $B$: El estudiante proviene de Baleares.
- $C$: El estudiante proviene de Castilla y León.
- $T$: El estudiante consigue el título de Licenciado en Medicina.
- $\bar{T}$: El estudiante **no** consigue el título de Licenciado en Medicina.
Extraemos las probabilidades del enunciado:
- $P(A) = 0.50$
- $P(B) = 0.15$
- $P(C) = 0.35$
Probabilidades condicionadas (estudiantes que no consiguen el título):
- $P(\bar{T}|A) = 0.15$
- $P(\bar{T}|B) = 0.10$
- $P(\bar{T}|C) = 0.05$
Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para calcular la probabilidad de que un estudiante no consiga el título, $P(\bar{T})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**.
Este teorema establece que la probabilidad de un suceso $\bar{T}$ se puede calcular como la suma de las probabilidades de las intersecciones con cada una de las procedencias:
$$P(\bar{T}) = P(A) \cdot P(\bar{T}|A) + P(B) \cdot P(\bar{T}|B) + P(C) \cdot P(\bar{T}|C)$$
Sustituimos los valores numéricos:
$$P(\bar{T}) = 0.50 \cdot 0.15 + 0.15 \cdot 0.10 + 0.35 \cdot 0.05$$
$$P(\bar{T}) = 0.075 + 0.015 + 0.0175$$
$$P(\bar{T}) = 0.1075$$
💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas principales de un árbol (procedencias) siempre debe ser igual a 1: $0.50 + 0.15 + 0.35 = 1$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{T}) = 0.1075}$$
Paso 3
Comparación de probabilidades a posteriori
**b) Si un alumno no consigue el título de Licenciado en Medicina, ¿es más probable que provenga de Andalucía o de Castilla y León?**
Debemos comparar las probabilidades condicionadas $P(A|\bar{T})$ y $P(C|\bar{T})$ utilizando el **Teorema de Bayes**.
La fórmula del Teorema de Bayes es:
$$P(X|\bar{T}) = \frac{P(X) \cdot P(\bar{T}|X)}{P(\bar{T})}$$
Calculamos primero la probabilidad de que provenga de Andalucía dado que no consiguió el título:
$$P(A|\bar{T}) = \frac{P(A \cap \bar{T})}{P(\bar{T})} = \frac{0.075}{0.1075} \approx 0.6977$$
Ahora calculamos la probabilidad de que provenga de Castilla y León dado que no consiguió el título:
$$P(C|\bar{T}) = \frac{P(C \cap \bar{T})}{P(\bar{T})} = \frac{0.0175}{0.1075} \approx 0.1628$$
💡 **Tip:** No es estrictamente necesario dividir por $P(\bar{T})$ para comparar, ya que el denominador es el mismo. Basta con comparar los numeradores $P(A \cap \bar{T})$ y $P(C \cap \bar{T})$.
Como $0.6977 \gt 0.1628$:
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{Es más probable que provenga de Andalucía}}$$