Consumo de azúcar (Distribución Normal)

**a) ¿Qué porcentaje de personas de ese país consumen menos de 10 Kg de azúcar al año? (1 punto)** Primero definimos la variable aleatoria $X$ como el consumo de azúcar en Kg por persona y año. El enunciado nos indica que $X$ sigue una distribución normal: $$X \sim N(\mu, \sigma) = N(15, 5)$$ Queremos calcular el porcentaje de personas con un consumo inferior a $10$ Kg, lo que equivale a la probabilidad $P(X \lt 10)$. Para calcular esta probabilidad usando las tablas estándar, debemos realizar un cambio de variable llamado **tipificación**: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Sustituimos los valores de nuestro problema: $$P(X \lt 10) = P\left(Z \lt \frac{10 - 15}{5}\right) = P\left(Z \lt \frac{-5}{5}\right) = P(Z \lt -1)$$ 💡 **Tip:** Tipificar permite transformar cualquier distribución normal en la normal estándar $N(0, 1)$, permitiéndonos usar los valores tabulados.

Como las tablas de la normal estándar solo recogen valores positivos para $Z$ y áreas acumuladas a la izquierda, aplicamos las propiedades de simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \lt -1) = P(Z \gt 1)$$ Ahora aplicamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \gt 1) = 1 - P(Z \le 1)$$ Buscamos en la tabla de la normal $N(0, 1)$ el valor correspondiente a $Z = 1$: $$P(Z \le 1) = 0.8413$$ Sustituimos para hallar la probabilidad: $$P(X \lt 10) = 1 - 0.8413 = 0.1587$$ Para expresar el resultado como un porcentaje, multiplicamos por $100$: $$0.1587 \cdot 100 = 15.87\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{15.87\%}$$

**b) ¿Cuál es el porcentaje de personas del país cuyo consumo anual de azúcar es superior a 25 Kg? (1 punto)** En este apartado buscamos el porcentaje de personas con un consumo $X \gt 25$ Kg. Procedemos a tipificar de nuevo la variable para convertirla en una normal estándar $Z$: $$P(X \gt 25) = P\left(Z \gt \frac{25 - 15}{5}\right) = P\left(Z \gt \frac{10}{5}\right) = P(Z \gt 2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(X \gt a)$ indica el área de la 'cola' derecha de la distribución.

Para poder utilizar la tabla de la normal estándar, transformamos la desigualdad utilizando la propiedad del suceso complementario: $$P(Z \gt 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Buscamos el valor de $Z = 2$ en la tabla de la normal: $$P(Z \le 2) = 0.9772$$ Calculamos la probabilidad final: $$P(X \gt 25) = 1 - 0.9772 = 0.0228$$ Convertimos este valor decimal a porcentaje: $$0.0228 \cdot 100 = 2.28\%$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{2.28\%}$$