Estudio de monotonía y cálculo de áreas

**a) Dada la función $f(x) = \frac{\ln x}{x}$. Encontrar sus extremos relativos y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. (1 punto)** Primero, determinamos el dominio de la función. La función logaritmo $\ln x$ requiere que $x \gt 0$, y el denominador no puede ser cero ($x \neq 0$). Por tanto, el dominio es $D = (0, +\infty)$. Calculamos la primera derivada utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x - (\ln x) \cdot (x)'}{x^2} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \ln x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar un cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Para hallar los extremos relativos, igualamos la primera derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies 1 - \ln x = 0 \implies \ln x = 1 \implies x = e$$ Como $x = e \approx 2,718$ está dentro del dominio, estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos $(0, e)$ y $(e, +\infty)$. Notemos que el denominador $x^2$ siempre es positivo en el dominio, por lo que el signo depende solo de $1 - \ln x$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, e) & e & (e, +\infty)\\\hline f'(x) & + & 0 & -\\\hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - En $(0, e)$, tomamos $x = 1$: $f'(1) = \frac{1-\ln 1}{1^2} = 1 \gt 0 \implies$ **Creciente**. - En $(e, +\infty)$, tomamos $x = e^2$: $f'(e^2) = \frac{1-\ln e^2}{e^4} = \frac{1-2}{e^4} \lt 0 \implies$ **Decreciente**. ✅ **Intervalos de crecimiento y decrecimiento:** $$\boxed{\text{Creciente en } (0, e) \text{ y Decreciente en } (e, +\infty)}$$

Dado que la función pasa de crecer a decrecer en $x = e$, existe un **máximo relativo**. Calculamos su ordenada sustituyendo en $f(x)$: $$f(e) = \frac{\ln e}{e} = \frac{1}{e}$$ ✅ **Extremo relativo:** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (e, 1/e)}$$

**b) Dada la función $f(x) = x^2 - 2x$. Estudiar el signo de la función en el intervalo $[1,3]$ y encontrar el área del recinto comprendido entre su gráfica, el eje OX y las rectas $x = 1$ y $x = 3$. (1 punto)** Primero, hallamos los puntos de corte con el eje OX ($f(x) = 0$): $$x^2 - 2x = 0 \implies x(x - 2) = 0 \implies x = 0, \quad x = 2$$ Dentro del intervalo $[1, 3]$, la función cambia de signo en $x = 2$. Analizamos los subintervalos: - En $[1, 2)$: Si $x = 1,5$, $f(1,5) = (1,5)^2 - 2(1,5) = 2,25 - 3 = -0,75 \lt 0$. La función es **negativa**. - En $(2, 3]$: Si $x = 2,5$, $f(2,5) = (2,5)^2 - 2(2,5) = 6,25 - 5 = 1,25 \gt 0$. La función es **positiva**. 💡 **Tip:** Es fundamental detectar si la función cruza el eje OX dentro del intervalo de integración para separar la integral en tramos y aplicar el valor absoluto adecuadamente. ✅ **Signo en $[1,3]$:** $$\boxed{f(x) \lt 0 \text{ en } [1, 2) \text{ y } f(x) \gt 0 \text{ en } (2, 3]}$$

El área $A$ es la suma de las áreas en cada tramo: $$A = \left| \int_{1}^{2} (x^2 - 2x) \, dx \right| + \left| \int_{2}^{3} (x^2 - 2x) \, dx \right|$$ Calculamos la primitiva $G(x) = \int (x^2 - 2x) \, dx = \frac{x^3}{3} - x^2$. Aplicamos la Regla de Barrow: 1. Para el primer tramo: $$\int_{1}^{2} (x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_1^2 = \left( \frac{8}{3} - 4 \right) - \left( \frac{1}{3} - 1 \right) = -\frac{4}{3} - \left( -\frac{2}{3} \right) = -\frac{2}{3}$$ Área $A_1 = | -2/3 | = 2/3$. 2. Para el segundo tramo: $$\int_{2}^{3} (x^2 - 2x) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 \right]_2^3 = \left( \frac{27}{3} - 9 \right) - \left( \frac{8}{3} - 4 \right) = 0 - \left( -\frac{4}{3} \right) = \frac{4}{3}$$ Área $A_2 = 4/3$. Sumamos ambas áreas: $$A = A_1 + A_2 = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = \frac{6}{3} = 2 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área } = 2 \text{ u}^2}$$