Cálculo de límites por L'Hôpital y cálculo de primitivas

**a) Calcular $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 - x + 1} - \sqrt{2x - 1}}{1 - x}$. (1 punto)** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = 1$ en la expresión: $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{1^2 - 1 + 1} - \sqrt{2(1) - 1}}{1 - 1} = \frac{\sqrt{1} - \sqrt{1}}{0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo **$0/0$**. 💡 **Tip:** Cuando nos encontramos con una indeterminación de este tipo en funciones derivables, la herramienta más directa en Bachillerato es aplicar la **Regla de L'Hôpital**.

Para resolver la indeterminación, derivamos el numerador y el denominador por separado: Si llamamos $u(x) = \sqrt{x^2 - x + 1} - \sqrt{2x - 1}$ y $v(x) = 1 - x$, sus derivadas son: - $u'(x) = \frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x + 1}} - \frac{2}{2\sqrt{2x - 1}} = \frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x + 1}} - \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}$ - $v'(x) = -1$ Aplicando L'Hôpital: $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 - x + 1} - \sqrt{2x - 1}}{1 - x} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{2x - 1}{2\sqrt{x^2 - x + 1}} - \frac{1}{\sqrt{2x - 1}}}{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de una raíz es $(\sqrt{f(x)})' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$.

Sustituimos de nuevo $x = 1$ en la expresión derivada: $$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{2(1) - 1}{2\sqrt{1^2 - 1 + 1}} - \frac{1}{\sqrt{2(1) - 1}}}{-1} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{1}} - \frac{1}{\sqrt{1}}}{-1} = \frac{\frac{1}{2} - 1}{-1} = \frac{-\frac{1}{2}}{-1} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2 - x + 1} - \sqrt{2x - 1}}{1 - x} = \frac{1}{2}}$$

**b) Dada la función $f(x) = \frac{2x - e^{-x}}{x^2 + e^{-x}}$, hallar la función primitiva suya $F(x)$ que verifique $F(0) = 3$. (1 punto)** Buscamos la integral indefinida $F(x) = \int \frac{2x - e^{-x}}{x^2 + e^{-x}} dx$. Observamos que el numerador es exactamente la derivada del denominador: Si $u = x^2 + e^{-x}$, entonces $du = (2x + e^{-x} \cdot (-1)) dx = (2x - e^{-x}) dx$. Se trata de una integral de tipo logarítmico: $$\int \frac{u'}{u} dx = \ln|u| + C$$ Por tanto: $$F(x) = \ln|x^2 + e^{-x}| + C$$ Como la expresión $x^2 + e^{-x}$ es siempre positiva para cualquier valor real de $x$, podemos prescindir del valor absoluto: $$F(x) = \ln(x^2 + e^{-x}) + C$$ 💡 **Tip:** Siempre que veas una fracción, comprueba si el numerador es (o puede ser fácilmente) la derivada del denominador.

Utilizamos la condición inicial $F(0) = 3$ para hallar el valor de la constante $C$: $$F(0) = \ln(0^2 + e^{-0}) + C = 3$$ $$F(0) = \ln(1) + C = 3$$ Como $\ln(1) = 0$, tenemos que: $$0 + C = 3 \implies C = 3$$ Por tanto, la función primitiva buscada es: $$F(x) = \ln(x^2 + e^{-x}) + 3$$ ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{F(x) = \ln(x^2 + e^{-x}) + 3}$$