Teorema de Bolzano y unicidad de la raíz

Para demostrar la existencia de una solución de la ecuación $x^4 + 3x = 1 + \operatorname{sen} x$, primero definimos una función auxiliar trasladando todos los términos a un miembro de la igualdad: $$f(x) = x^4 + 3x - 1 - \operatorname{sen} x$$ Resolver la ecuación original es equivalente a encontrar los ceros de esta función $f(x)$ en el intervalo $[0, 2]$. Analizamos las propiedades de $f(x)$: - $x^4 + 3x - 1$ es una función polinómica, por lo que es continua en toda la recta real. - $\operatorname{sen} x$ es una función trigonométrica continua en toda la recta real. - Por tanto, $f(x)$, al ser suma y resta de funciones continuas, es **continua en el intervalo cerrado $[0, 2]$**. 💡 **Tip:** Para aplicar el Teorema de Bolzano, siempre debemos definir una función continua e igualada a cero.

Evaluamos la función en los extremos del intervalo $[0, 2]$ para comprobar si existe un cambio de signo: 1. En $x = 0$: $$f(0) = 0^4 + 3(0) - 1 - \operatorname{sen}(0) = 0 + 0 - 1 - 0 = -1 \lt 0$$ 2. En $x = 2$: $$f(2) = 2^4 + 3(2) - 1 - \operatorname{sen}(2) = 16 + 6 - 1 - \operatorname{sen}(2) = 21 - \operatorname{sen}(2)$$ Como el valor del seno está acotado entre $-1$ y $1$ ($\operatorname{sen}(2) \approx 0.909$), tenemos: $$f(2) = 21 - 0.909 = 20.091 \gt 0$$ Como $f(x)$ es continua en $[0, 2]$ y toma valores de signos opuestos en los extremos ($f(0) \lt 0$ y $f(2) \gt 0$), según el **Teorema de Bolzano**, existe al menos un punto $c \in (0, 2)$ tal que $f(c) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existe al menos una solución real en el intervalo } [0, 2]}$$

Para probar que la solución es única, estudiaremos el crecimiento de la función mediante su primera derivada: $$f'(x) = 4x^3 + 3 - \cos x$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en el intervalo $(0, 2)$: - Para cualquier $x \in [0, 2]$, el término $4x^3 \ge 0$. - Sabemos que el valor máximo de $\cos x$ es $1$, por lo que $3 - \cos x \ge 3 - 1 = 2$. Sumando ambos resultados: $$f'(x) = 4x^3 + (3 - \cos x) \ge 0 + 2 = 2 \gt 0$$ Dado que $f'(x) \gt 0$ para todo $x \in [0, 2]$, la función $f(x)$ es **estrictamente creciente** en dicho intervalo. 💡 **Tip:** Si una función es estrictamente monótona (siempre crece o siempre decrece) y cruza el eje $X$, solo puede hacerlo en un único punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Al ser } f(x) \text{ estrictamente creciente, la solución es única}}$$