Determinación de parámetros de una función cúbica

Para resolver este problema, necesitamos identificar las condiciones que nos dan los datos del enunciado. La función es un polinomio de tercer grado: $$f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$$ Calculamos su primera y segunda derivada, ya que las necesitaremos para la pendiente de la tangente y el punto de inflexión: $$f'(x) = 3x^2 + 2ax + b$$ $$f''(x) = 6x + 2a$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para derivar potencias del tipo $x^n$, la derivada es $n \cdot x^{n-1}$.

El enunciado indica que existe un punto de inflexión en $x = 1$. Matemáticamente, esto significa que la segunda derivada se anula en ese punto: $f''(1) = 0$. Sustituimos $x = 1$ en $f''(x)$: $$f''(1) = 6(1) + 2a = 0$$ $$6 + 2a = 0 \implies 2a = -6 \implies a = -3$$ Para confirmar que es un punto de inflexión, el signo de $f''(x)$ debe cambiar alrededor de $x=1$. Como $f''(x) = 6x - 6$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \end{array}$$ Como hay cambio de signo (de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba), se confirma la existencia del punto de inflexión. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{a = -3}$$

Se nos dice que la recta tangente pasa por el punto $(-1, 0)$. Como ese es el punto de tangencia, dicho punto debe pertenecer a la gráfica de la función, es decir: $f(-1) = 0$. Sustituimos $x = -1$ en la función original (utilizando ya $a = -3$): $$f(-1) = (-1)^3 + (-3)(-1)^2 + b(-1) + c = 0$$ $$-1 - 3 - b + c = 0 \implies -4 - b + c = 0$$ De aquí obtenemos la primera ecuación para $b$ y $c$: $$c - b = 4 \quad \text{(Ecuación 1)}$$

El enunciado afirma que la recta tangente en $(-1, 0)$ es el eje de abscisas. La ecuación del eje de abscisas es $y = 0$, cuya pendiente es $m = 0$. La pendiente de la recta tangente en un punto $x = a$ es $f'(a)$. Por tanto, tenemos que $f'(-1) = 0$. Sustituimos $x = -1$ en la primera derivada (con $a = -3$): $$f'(-1) = 3(-1)^2 + 2(-3)(-1) + b = 0$$ $$3 + 6 + b = 0 \implies 9 + b = 0$$ $$b = -9$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si la recta tangente es horizontal (como el eje $X$), la derivada en ese punto debe ser igual a cero. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{b = -9}$$

Ahora que conocemos $b = -9$, sustituimos su valor en la **Ecuación 1** obtenida en el paso 3: $$c - (-9) = 4 \implies c + 9 = 4$$ $$c = 4 - 9 = -5$$ Ya tenemos los tres parámetros: $a = -3$, $b = -9$ y $c = -5$. Sustituimos estos valores en la expresión general de la función $f(x)$: $$f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 5$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 5}$$ Como paso opcional de comprensión, podemos observar el comportamiento de la función en su gráfica interactiva para verificar las condiciones dadas.