Geometría: Rectas paralelas y simetría respecto a un plano

**a) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por el punto $(1,2,3)$ y es paralela a la recta $r \equiv \begin{cases} x - y - z - 1 = 0 \\ x + y + z - 3 = 0 \end{cases}$. (1 punto)** Para encontrar una recta paralela a $r$, necesitamos obtener primero su vector director $\vec{v}_r$. La recta $r$ viene dada como la intersección de dos planos, por lo que su vector director se puede obtener mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos. Los vectores normales son: $$\vec{n}_1 = (1, -1, -1)$$ $$\vec{n}_2 = (1, 1, 1)$$ Calculamos el producto vectorial: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(-1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - (-1) \cdot 1)$$ $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(-1 + 1) - \mathbf{j}(1 + 1) + \mathbf{k}(1 + 1) = (0, -2, 2)$$ 💡 **Tip:** Podemos simplificar el vector director dividiendo por 2 (o -2) para trabajar con números más sencillos. Usaremos $\vec{v}_s = (0, -1, 1)$. $$\boxed{\vec{v}_r = (0, -2, 2) \parallel (0, -1, 1)}$$

La recta buscada, a la que llamaremos $s$, debe pasar por el punto $P(1, 2, 3)$ y tener el mismo vector director que $r$ (o uno proporcional) por ser paralela. Usamos el punto $P(1, 2, 3)$ y el vector $\vec{v}_s = (0, -1, 1)$. La ecuación continua de la recta es: $$s \equiv \frac{x - 1}{0} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{1}$$ Como la componente $x$ tiene un denominador cero, es más riguroso expresarla en paramétricas: $$\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{s \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}}$$

**b) Calcular el punto simétrico del $(1,2,3)$ respecto del plano $\pi \equiv 3x + 2y + z + 4 = 0$. (1 punto)** Para hallar el simétrico de $P(1, 2, 3)$ respecto al plano $\pi$, seguiremos tres pasos: hallar la recta perpendicular al plano que pasa por $P$, calcular el punto de intersección $M$ (punto medio) y, finalmente, obtener el simétrico $P'$. El vector normal del plano $\pi$ es $\vec{n}_\pi = (3, 2, 1)$. Este vector será el director de la recta perpendicular $t$: $$t \equiv \begin{cases} x = 1 + 3\lambda \\ y = 2 + 2\lambda \\ z = 3 + \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** La recta que une un punto con su simétrico respecto a un plano es siempre perpendicular a dicho plano, por lo que su vector director coincide con el vector normal del plano.

Sustituimos las coordenadas genéricas de la recta $t$ en la ecuación del plano $\pi$ para hallar el valor de $\lambda$ en el punto de corte $M$: $$3(1 + 3\lambda) + 2(2 + 2\lambda) + (3 + \lambda) + 4 = 0$$ $$3 + 9\lambda + 4 + 4\lambda + 3 + \lambda + 4 = 0$$ $$14\lambda + 14 = 0 \implies 14\lambda = -14 \implies \lambda = -1$$ Sustituimos $\lambda = -1$ en las ecuaciones de la recta $t$ para obtener $M$: $$x_M = 1 + 3(-1) = -2$$ $$y_M = 2 + 2(-1) = 0$$ $$z_M = 3 + (-1) = 2$$ El punto de intersección es $M(-2, 0, 2)$. Este punto es el pie de la perpendicular y el punto medio entre $P$ y su simétrico $P'$. $$\boxed{M(-2, 0, 2)}$$

Sea $P'(x', y', z')$ el punto simétrico buscado. Sabemos que $M$ es el punto medio del segmento $PP'$: $$M = \frac{P + P'}{2} \implies (-2, 0, 2) = \left( \frac{1 + x'}{2}, \frac{2 + y'}{2}, \frac{3 + z'}{2} \right)$$ Igualamos componente a componente: 1. $-2 = \frac{1 + x'}{2} \implies -4 = 1 + x' \implies x' = -5$ 2. $0 = \frac{2 + y'}{2} \implies 0 = 2 + y' \implies y' = -2$ 3. $2 = \frac{3 + z'}{2} \implies 4 = 3 + z' \implies z' = 1$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P'(-5, -2, 1)}$$