Recta paralela y plano que contiene a una recta

Para resolver ambos apartados, primero extraemos un punto y el vector director de la recta $r$ dada en su forma continua: $$r \equiv \frac{x-2}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-4}{-3}$$ De los denominadores obtenemos el vector director: $$\vec{v}_r = (1, -1, -3)$$ Y de los numeradores obtenemos un punto que pertenece a la recta: $$Q_r = (2, 3, 4)$$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

**a) Hallar la recta paralela a $r$ que pase por $P$. (0,8 puntos)** Una recta $s$ es paralela a $r$ si ambas tienen el mismo vector director (o uno proporcional). Por tanto, usamos: - Vector director: $\vec{v}_s = \vec{v}_r = (1, -1, -3)$ - Punto de paso: $P(2, 1, 1)$ Escribimos la ecuación de la recta $s$ en forma continua: $$s \equiv \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-1}{-3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{s \equiv x-2 = \frac{y-1}{-1} = \frac{z-1}{-3}}$$

**b) Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto $P$ y contiene a la recta $r$. (1,2 puntos)** Para definir un plano $\pi$ que contiene a una recta $r$ y un punto $P$, necesitamos un punto del plano (usaremos $P$) y dos vectores directores no paralelos que estén contenidos en él: 1. El vector director de la recta: $\vec{v}_r = (1, -1, -3)$. 2. Un vector que una el punto $P$ con cualquier punto de la recta $r$, por ejemplo, $Q_r(2, 3, 4)$. Calculamos el vector $\vec{PQ_r}$: $$\vec{PQ_r} = Q_r - P = (2-2, 3-1, 4-1) = (0, 2, 3)$$ 💡 **Tip:** El plano que contiene a una recta y un punto exterior se construye con el vector director de la recta y el vector formado por el punto dado y un punto de la recta.

El vector normal del plano $\vec{n}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los dos vectores directores hallados: $$\vec{n} = \vec{v}_r \times \vec{PQ_r} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -1 & -3 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante desarrollando por la primera fila: $$\vec{n} = \vec{i} \begin{vmatrix} -1 & -3 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n} = [(-1)\cdot 3 - (-3)\cdot 2]\vec{i} - [1\cdot 3 - (-3)\cdot 0]\vec{j} + [1\cdot 2 - (-1)\cdot 0]\vec{k}$$ $$\vec{n} = (-3 + 6)\vec{i} - (3 - 0)\vec{j} + (2 - 0)\vec{k}$$ $$\vec{n} = (3, -3, 2)$$

La ecuación general del plano es de la forma $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las coordenadas del vector normal $\vec{n} = (3, -3, 2)$: $$3x - 3y + 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $P(2, 1, 1)$: $$3(2) - 3(1) + 2(1) + D = 0$$ $$6 - 3 + 2 + D = 0$$ $$5 + D = 0 \implies D = -5$$ La ecuación del plano es $3x - 3y + 2z - 5 = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{3x - 3y + 2z - 5 = 0}$$