Potencias de matrices e invertibilidad con parámetros

**a) Encontrar los valores de $m$ y $n$ para que se verifique: $A^2 = A^t$ ($A^t \equiv$ la traspuesta de $A$). (1,2 puntos)** En primer lugar, calculamos $A^2$ multiplicando la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m & n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 0 \cdot m & 1 \cdot 0 + 0 \cdot n \\ m \cdot 1 + n \cdot m & m \cdot 0 + n \cdot n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m(1+n) & n^2 \end{pmatrix}$$ A continuación, obtenemos la matriz traspuesta $A^t$ intercambiando filas por columnas: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & n \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices se hace el producto escalar de las filas de la primera por las columnas de la segunda.

Igualamos ambas matrices elemento a elemento para que se cumpla la condición $A^2 = A^t$: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ m(1+n) & n^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & m \\ 0 & n \end{pmatrix}$$ Esto nos genera el siguiente sistema de ecuaciones: 1. $1 = 1$ (siempre se cumple) 2. $0 = m$ 3. $m(1+n) = 0$ 4. $n^2 = n$ 💡 **Tip:** Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y todos sus elementos correspondientes coinciden.

Resolvemos las ecuaciones obtenidas: De la ecuación (2) obtenemos directamente: $$\mathbf{m = 0}$$ Sustituimos $m = 0$ en la ecuación (3): $$0(1+n) = 0 \implies 0 = 0$$ Esta ecuación se cumple para cualquier valor de $n$, por lo que no aporta restricciones adicionales. Resolvemos la ecuación (4): $$n^2 - n = 0 \implies n(n-1) = 0$$ De aquí obtenemos dos posibles soluciones para $n$: $$\mathbf{n = 0} \quad \text{o} \quad \mathbf{n = 1}$$ Por tanto, existen dos parejas de valores posibles para $m$ y $n$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(m=0, n=0) \text{ y } (m=0, n=1)}$$

**b) ¿Para qué valores de $m$ y $n$ la matriz $A$ no es invertible? (0,8 puntos)** Una matriz cuadrada $A$ no es invertible (es singular) si su determinante es igual a cero. Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ m & n \end{vmatrix} = (1 \cdot n) - (0 \cdot m) = n$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $A$ tiene inversa $\iff |A| \neq 0$.

Para que la matriz no sea invertible, imponemos que el determinante sea nulo: $$|A| = 0 \implies \mathbf{n = 0}$$ Como el parámetro $m$ desaparece al calcular el determinante, su valor no influye en la invertibilidad de la matriz. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La matriz no es invertible cuando } n = 0, \text{ independientemente del valor de } m \in \mathbb{R}}$$