Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $\lambda$:** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \lambda & 1 & 0 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El teorema de Rouché-Capelli nos permite determinar la compatibilidad del sistema comparando el rango de la matriz de coeficientes ($A$) con el de la matriz ampliada ($A^*$). Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$ (incógnitas), el sistema es compatible determinado.

Calculamos el determinante de $A$ para encontrar los valores críticos de $\lambda$: $$|A| = \begin{vmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = (\lambda \cdot \lambda \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 0 + 1 \cdot 1 \cdot 1) - (0 \cdot \lambda \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot \lambda + 1 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|A| = (\lambda^2 + 1) - (\lambda + 1)$$ $$|A| = \lambda^2 - \lambda$$ Igualamos a cero para hallar las raíces: $$\lambda^2 - \lambda = 0 \implies \lambda(\lambda - 1) = 0$$ Los valores críticos son **$\lambda = 0$** y **$\lambda = 1$**.

Si **$\lambda \neq 0$ y $\lambda \neq 1$**: En este caso, el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por tanto, el rango de $A$ es igual al número de incógnitas: $$\text{rg}(A) = 3 = \text{rg}(A^*) = n$$ Según el Teorema de Rouché-Capelli: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda \neq 0, 1, \text{ el sistema es Compatible Determinado (Solución única)}}$$

Si **$\lambda = 0$**, las matrices son: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Como $|A| = 0$, el $\text{rg}(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ comprobando el menor formado por las columnas 2, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = (2 + 0 + 0) - (1 + 2 + 0) = 2 - 3 = -1 \neq 0 \implies \text{rg}(A^*) = 3$$ Como $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$: ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = 0, \text{ el sistema es Incompatible (No tiene solución)}}$$

Si **$\lambda = 1$**, las matrices son: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 2 \end{array}\right)$$ Observamos que la segunda y la tercera fila son idénticas ($F_2 = F_3$), tanto en $A$ como en $A^*$. Por lo tanto, el rango no puede ser 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como $F_2 = F_3$ en toda la matriz ampliada, el rango de $A^*$ también es 2: $$\text{rg}(A) = 2 = \text{rg}(A^*) < 3 \text{ (nº de incógnitas)}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = 1, \text{ el sistema es Compatible Indeterminado (Infinitas soluciones)}}$$

**b) Resolverlo para $\lambda=1$.** Como hemos visto, para $\lambda=1$ el sistema es compatible indeterminado y la tercera ecuación es redundante. El sistema queda: $$ \begin{cases} x + y = 1 \\ x + y + z = 2 \end{cases} $$ Para resolverlo, tomamos una incógnita como parámetro. Sea **$x = \alpha$**, con $\alpha \in \mathbb{R}$. 1. De la primera ecuación despejamos $y$: $$y = 1 - x = 1 - \alpha$$ 2. Sustituimos en la segunda ecuación: $$\alpha + (1 - \alpha) + z = 2 \implies 1 + z = 2 \implies z = 1$$ 💡 **Tip:** En un SCI, el número de parámetros necesarios es $n - \text{rg}(A)$. En este caso $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} x = \alpha \\ y = 1 - \alpha \\ z = 1 \end{cases} \quad \forall \alpha \in \mathbb{R}}$$