Probabilidad y estadística: Mantenimiento de barcos

Para resolver el problema, primero definimos los sucesos que intervienen en el experimento aleatorio: * $B$: El barco es de tonelaje bajo. * $M$: El barco es de tonelaje medio. * $A$: El barco es de tonelaje alto. * $S$: El barco necesita mantenimiento. * $\bar{S}$: El barco no necesita mantenimiento. Del enunciado extraemos las probabilidades a priori y las probabilidades condicionadas: $$P(B) = 0,6; \quad P(M) = 0,3; \quad P(A) = 0,1$$ $$P(S|B) = 0,25; \quad P(S|M) = 0,4; \quad P(S|A) = 0,6$$ Representamos estos datos en un **árbol de probabilidad** para visualizar mejor todas las intersecciones: 💡 **Tip:** Un diagrama de árbol es la mejor herramienta para problemas con dependencias sucesivas. La suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1.

**a) Si llega un barco a puerto, calcule la probabilidad de que necesite mantenimiento. (1 punto)** Para calcular la probabilidad de que un barco cualquiera necesite mantenimiento, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Este suceso puede ocurrir por tres vías excluyentes: que el barco sea de bajo, medio o alto tonelaje. La fórmula es: $$P(S) = P(B) \cdot P(S|B) + P(M) \cdot P(S|M) + P(A) \cdot P(S|A)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(S) = 0,6 \cdot 0,25 + 0,3 \cdot 0,4 + 0,1 \cdot 0,6$$ $$P(S) = 0,15 + 0,12 + 0,06 = 0,33$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando queremos hallar la probabilidad de un suceso "final" que depende de varias causas previas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S) = 0,33}$$

**b) Si un barco ha necesitado mantenimiento, calcule la probabilidad de que sea de tonelaje medio. (1 punto)** En este apartado nos piden una probabilidad a posteriori: sabiendo que el barco ha necesitado mantenimiento (suceso $S$), ¿cuál es la probabilidad de que pertenezca al grupo de tonelaje medio (suceso $M$)? Utilizamos el **Teorema de Bayes**: $$P(M|S) = \frac{P(M) \cdot P(S|M)}{P(S)}$$ Ya conocemos el valor del denominador $P(S) = 0,33$ del apartado anterior. Calculamos el numerador: $$P(M \cap S) = P(M) \cdot P(S|M) = 0,3 \cdot 0,4 = 0,12$$ Sustituimos en la fórmula de Bayes: $$P(M|S) = \frac{0,12}{0,33}$$ Simplificamos la fracción dividiendo entre 0,03: $$P(M|S) = \frac{12}{33} = \frac{4}{11} \approx 0,3636$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Bayes se aplica cuando ya ha ocurrido el suceso y queremos saber la probabilidad de que la "causa" haya sido una en concreto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|S) = \frac{4}{11} \approx 0,3636}$$