Distribución normal de pesos de alumnos

Sea $X$ la variable aleatoria que representa el peso de un alumno de 2º de bachillerato en kilogramos. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal con los siguientes parámetros: - Media: $\mu = 75$ - Desviación típica: $\sigma = 5$ Por tanto, podemos escribirlo como: **$X \sim N(75, 5)$**. Para calcular cualquier probabilidad asociada a esta distribución, debemos realizar el proceso de **tipificación**, que consiste en transformar nuestra variable $X$ en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ 💡 **Tip:** La tipificación permite utilizar las tablas de la normal estándar para hallar las probabilidades de cualquier distribución normal.

**a) Tenga un peso entre 70 y 80 kg. (1 punto)** Debemos calcular $P(70 \lt X \lt 80)$. Procedemos a tipificar ambos extremos del intervalo: $$P(70 \lt X \lt 80) = P\left(\frac{70 - 75}{5} \lt Z \lt \frac{80 - 75}{5}\right) = P(-1 \lt Z \lt 1)$$ Aplicando las propiedades de la distribución normal: $$P(-1 \lt Z \lt 1) = P(Z \lt 1) - P(Z \lt -1)$$ Por simetría, sabemos que $P(Z \lt -1) = 1 - P(Z \lt 1)$, por lo que la expresión queda: $$P(-1 \lt Z \lt 1) = P(Z \lt 1) - (1 - P(Z \lt 1)) = 2 \cdot P(Z \lt 1) - 1$$ Buscamos el valor para $Z = 1$ en la tabla de la normal estándar: $P(Z \lt 1) = 0.8413$ Sustituimos: $$2 \cdot (0.8413) - 1 = 1.6826 - 1 = 0.6826$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(70 \lt X \lt 80) = 0.6826}$$ 💡 **Tip:** El intervalo $(-1, 1)$ alrededor de la media en una normal estándar siempre engloba, aproximadamente, el $68.26\%$ de los datos.

**b) Tenga un peso superior a 85 kg. (1 punto)** Debemos calcular $P(X \gt 85)$. Tipificamos el valor: $$P(X \gt 85) = P\left(Z \gt \frac{85 - 75}{5}\right) = P(Z \gt 2)$$ Dado que las tablas de probabilidad suelen darnos el área acumulada a la izquierda ($P(Z \le z)$), utilizamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \gt 2) = 1 - P(Z \le 2)$$ Buscamos el valor para $Z = 2$ en la tabla de la normal estándar: $P(Z \le 2) = 0.9772$ Realizamos la resta: $$1 - 0.9772 = 0.0228$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 85) = 0.0228}$$ 💡 **Tip:** Cuanto más nos alejamos de la media (en este caso a 2 desviaciones típicas), la probabilidad de encontrar valores extremos es cada vez menor.