Puntos de corte y área entre curvas

**a) Calcule los puntos de corte de las gráficas de las funciones $f(x) = \frac{2}{x}$ y $g(x) = 3 - x$. (0,5 puntos)** Para hallar los puntos de corte, igualamos ambas funciones: $f(x) = g(x)$. $$\frac{2}{x} = 3 - x$$ Multiplicamos toda la ecuación por $x$ (considerando $x \neq 0$ ya que no está en el dominio de $f$): $$2 = 3x - x^2$$ Reordenamos para obtener una ecuación de segundo grado: $$x^2 - 3x + 2 = 0$$ Resolvemos mediante la fórmula general: $$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8}}{2} = \frac{3 \pm 1}{2}$$ Esto nos da dos valores de $x$: - $x_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2$ - $x_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1$ Calculamos las ordenadas correspondientes sustituyendo en cualquiera de las funciones (por ejemplo en $g(x)$): - Para $x = 1 \implies y = 3 - 1 = 2$. Punto: $(1, 2)$ - Para $x = 2 \implies y = 3 - 2 = 1$. Punto: $(2, 1)$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte son los valores donde las gráficas se cruzan. Es fundamental comprobar que los valores de $x$ obtenidos pertenecen al dominio de ambas funciones. ✅ **Resultado:** $$\boxed{(1, 2) \text{ y } (2, 1)}$$

**b) Sabiendo que en el intervalo $[1,2]$ se verifica que $g(x) \ge f(x)$ calcular el área del recinto limitado por la gráfica de ambas funciones en dicho intervalo. (1,5 puntos)** El área $A$ encerrada entre dos funciones $g(x)$ y $f(x)$ en un intervalo $[a, b]$, donde $g(x) \ge f(x)$, se define como: $$A = \int_{a}^{b} [g(x) - f(x)] \, dx$$ En nuestro caso, el intervalo es $[1, 2]$, $g(x) = 3 - x$ y $f(x) = \frac{2}{x}$. Por tanto: $$A = \int_{1}^{2} \left( (3 - x) - \frac{2}{x} \right) \, dx$$ 💡 **Tip:** Si el enunciado no nos dijera qué función está por encima, tendríamos que evaluar un punto intermedio del intervalo (como $x=1.5$) para determinarlo, o usar el valor absoluto de la integral. $$\boxed{A = \int_{1}^{2} \left( 3 - x - \frac{2}{x} \right) \, dx}$$

Calculamos primero la integral indefinida (primitiva): $$\int \left( 3 - x - \frac{2}{x} \right) \, dx = 3x - \frac{x^2}{2} - 2\ln|x|$$ Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando en los límites de integración $x=1$ y $x=2$: $$A = \left[ 3x - \frac{x^2}{2} - 2\ln(x) \right]_1^2$$ *(Nota: No usamos valor absoluto en el logaritmo porque el intervalo es positivo)*. Evaluamos en el límite superior ($x=2$): $$F(2) = 3(2) - \frac{2^2}{2} - 2\ln(2) = 6 - 2 - 2\ln(2) = 4 - 2\ln(2)$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=1$): $$F(1) = 3(1) - \frac{1^2}{2} - 2\ln(1) = 3 - 0.5 - 0 = 2.5$$ Restamos ambos resultados: $$A = (4 - 2\ln 2) - 2.5 = 1.5 - 2\ln 2$$ Podemos expresar el resultado final de forma exacta: $$A = \frac{3}{2} - \ln(2^2) = \frac{3}{2} - \ln 4 \approx 0.1137 \text{ unidades}^2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(1) = 0$ y que $2\ln(2) = \ln(2^2) = \ln 4$ por las propiedades de los logaritmos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = 1.5 - 2\ln 2 \text{ u}^2}$$