Límites por L'Hôpital e integrales definidas

**a) Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x - x}{e^x + \operatorname{sen} x - 1}$. (1 punto)** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ para comprobar si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x - x}{e^x + \operatorname{sen} x - 1} = \frac{e^0 - \cos(0) - 0}{e^0 + \operatorname{sen}(0) - 1} = \frac{1 - 1 - 0}{1 + 0 - 1} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos la indeterminación **$\frac{0}{0}$**, por lo que podemos aplicar la **regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** La regla de L'Hôpital nos permite resolver límites de la forma $0/0$ o $\infty/\infty$ derivando el numerador y el denominador por separado.

Derivamos el numerador y el denominador de la función: - Derivada del numerador: $(e^x - \cos x - x)' = e^x - (-\operatorname{sen} x) - 1 = e^x + \operatorname{sen} x - 1$ - Derivada del denominador: $(e^x + \operatorname{sen} x - 1)' = e^x + \cos x$ Aplicamos el límite a la nueva expresión: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x - x}{e^x + \operatorname{sen} x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \operatorname{sen} x - 1}{e^x + \cos x}$$ Evaluamos de nuevo sustituyendo $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^0 + \operatorname{sen}(0) - 1}{e^0 + \cos(0)} = \frac{1 + 0 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$$ ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{0}$$

**b) Calcular $\int_0^{\pi/2} (\operatorname{sen} x + \cos x) dx$. (1 punto)** Para resolver la integral definida, primero calculamos la integral indefinida (la primitiva) de la función. Como es una suma, podemos integrar cada término por separado: $$\int (\operatorname{sen} x + \cos x) dx = \int \operatorname{sen} x \, dx + \int \cos x \, dx$$ Utilizando las integrales inmediatas: - $\int \operatorname{sen} x \, dx = -\cos x$ - $\int \cos x \, dx = \operatorname{sen} x$ Por tanto, la primitiva es: $$F(x) = -\cos x + \operatorname{sen} x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $\operatorname{sen} x$ es $\cos x$ y la derivada de $\cos x$ es $-\operatorname{sen} x$. Por eso, la integral de $\operatorname{sen} x$ lleva signo negativo.

Aplicamos la **Regla de Barrow** evaluando la primitiva en los límites de integración $0$ y $\pi/2$: $$\int_0^{\pi/2} (\operatorname{sen} x + \cos x) dx = \left[ -\cos x + \operatorname{sen} x \right]_0^{\pi/2}$$ Calculamos los valores: - En el límite superior ($x = \pi/2$): $$F(\pi/2) = -\cos(\pi/2) + \operatorname{sen}(\pi/2) = -0 + 1 = 1$$ - En el límite inferior ($x = 0$): $$F(0) = -\cos(0) + \operatorname{sen}(0) = -1 + 0 = -1$$ Restamos ambos resultados: $$\int_0^{\pi/2} (\operatorname{sen} x + \cos x) dx = F(\pi/2) - F(0) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$$ ✅ **Resultado de la integral:** $$\boxed{2}$$