Teorema de Bolzano y Unicidad de Raíces

**Demuestre que la ecuación $x^3 - 12x = -2$ tiene una solución en el intervalo $[-2,2]$ y pruebe además que esa solución es única. (2 puntos)** Para trabajar con mayor comodidad, reescribimos la ecuación igualándola a cero para definir una función auxiliar. Si sumamos $2$ en ambos miembros, obtenemos: $$x^3 - 12x + 2 = 0$$ Sea $f(x) = x^3 - 12x + 2$. El problema se reduce a demostrar que la función $f(x)$ tiene exactamente una raíz (o cero) en el intervalo $[-2, 2]$. 💡 **Tip:** Siempre que te pidan demostrar que existe una solución a una ecuación del tipo $A(x) = B(x)$, es recomendable definir $f(x) = A(x) - B(x)$ y buscar los ceros de $f(x)$ aplicando el **Teorema de Bolzano**.

Para probar que existe al menos una solución, aplicaremos el **Teorema de Bolzano** en el intervalo $[-2, 2]$. 1. **Continuidad:** $f(x) = x^3 - 12x + 2$ es una función polinómica, por lo tanto, es continua en todo $\mathbb{R}$ y, en consecuencia, es continua en el intervalo cerrado $[-2, 2]$. 2. **Signo en los extremos:** Evaluamos la función en los extremos del intervalo: - Para $x = -2$: $$f(-2) = (-2)^3 - 12(-2) + 2 = -8 + 24 + 2 = 18 \gt 0$$ - Para $x = 2$: $$f(2) = (2)^3 - 12(2) + 2 = 8 - 24 + 2 = -14 \lt 0$$ Como $f(x)$ es continua y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo ($f(-2) \cdot f(2) \lt 0$), el Teorema de Bolzano garantiza que existe al menos un punto $c \in (-2, 2)$ tal que $f(c) = 0$. 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano nos dice que si una función es continua en $[a,b]$ y cambia de signo, cruza el eje $X$ al menos una vez. $$\boxed{\text{Existe al menos una solución en } (-2, 2)}$$

Para probar que la solución es única, estudiaremos la monotonía de la función en dicho intervalo. Calculamos su derivada: $$f'(x) = 3x^2 - 12$$ Analizamos el signo de la derivada en el intervalo $(-2, 2)$. Para ello, buscamos sus puntos críticos: $$3x^2 - 12 = 0 \implies 3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Como los puntos donde la derivada se anula son precisamente los extremos del intervalo, tomamos un valor intermedio (por ejemplo, $x = 0$) para ver el signo de $f'(x)$ en todo el interior del intervalo: $$f'(0) = 3(0)^2 - 12 = -12 \lt 0$$ **Tabla de monotonía en $[-2, 2]$:** $$\begin{array}{c|ccc} x & -2 & (-2, 2) & 2 \\\hline f'(x) & 0 & - & 0 \\\hline f(x) & 18 & \searrow & -14 \end{array}$$ Como $f'(x) \lt 0$ para todo $x \in (-2, 2)$, la función es **estrictamente decreciente** en el intervalo $[-2, 2]$. Si una función es estrictamente monótona (siempre crece o siempre decrece) en un intervalo, no puede cortar al eje $X$ más de una vez. 💡 **Tip:** Si ya has probado que existe una raíz, la forma más sencilla de probar que es única es demostrar que la función es estrictamente creciente o decreciente en ese intervalo (su derivada no cambia de signo).

Hemos demostrado que: 1. Por el Teorema de Bolzano, existe al menos una raíz en el intervalo. 2. Al ser la función estrictamente decreciente en dicho intervalo, es imposible que la función vuelva a cruzar el eje $X$. Por tanto, queda probado que la ecuación $x^3 - 12x = -2$ tiene una **única solución** en el intervalo $[-2, 2]$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{La solución existe y es única en } [-2, 2]}$$