Estudio y representación gráfica de f(x) = xe^x

Para realizar el estudio completo de la función $f(x) = xe^x$, primero identificamos su dominio y calculamos sus derivadas primera y segunda. El dominio de $f(x)$ es **$\mathbb{R}$**, ya que es el producto de un polinomio y una función exponencial, ambos continuos y definidos en toda la recta real. Calculamos la primera derivada usando la regla del producto: $$f'(x) = (x)' e^x + x (e^x)' = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = (1+x)e^x$$ Calculamos la segunda derivada derivando el resultado anterior: $$f''(x) = (1)' e^x + (1+x) e^x = 0 \cdot e^x + (1+x) e^x + e^x = (2+x)e^x$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla del producto: $(u \cdot v)' = u'v + uv'$. En este caso, la derivada de $e^x$ es siempre $e^x$, lo que facilita sacar factor común. $$\boxed{f'(x) = (x+1)e^x, \quad f''(x) = (x+2)e^x}$$

Para hallar los intervalos de monotonía y los extremos, igualamos la primera derivada a cero: $$f'(x) = 0 \implies (x+1)e^x = 0$$ Como $e^x \gt 0$ para cualquier valor de $x$, la única solución es: $$x + 1 = 0 \implies x = -1$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por este punto crítico: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -1) & -1 & (-1, +\infty) \\\hline x+1 & - & 0 & + \\ e^x & + & + & + \\\hline f'(x) & - & 0 & + \\ \text{Función} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, -1)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f$ es **decreciente**. - En $(-1, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f$ es **creciente**. Calculamos la ordenada del mínimo relativo en $x = -1$: $$f(-1) = (-1)e^{-1} = -\frac{1}{e} \approx -0.37$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decreciente: } (-\infty, -1) \quad \text{Creciente: } (-1, +\infty) \quad \text{Mínimo relativo: } \left(-1, -\frac{1}{e}\right)}$$

Para estudiar la curvatura, igualamos la segunda derivada a cero: $$f''(x) = 0 \implies (x+2)e^x = 0 \implies x = -2$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos definidos por este punto: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, -2) & -2 & (-2, +\infty) \\\hline x+2 & - & 0 & + \\ e^x & + & + & + \\\hline f''(x) & - & 0 & + \\ \text{Curvatura} & \cap \text{ (Convexa)} & \text{P. Inflexión} & \cup \text{ (Cóncava)} \end{array}$$ *Nota: Usamos cóncava para $\cup$ y convexa para $\cap$ según la nomenclatura habitual en Bachillerato.* Calculamos la ordenada del punto de inflexión en $x = -2$: $$f(-2) = -2e^{-2} = -\frac{2}{e^2} \approx -0.27$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Convexa (}\cap\text{): } (-\infty, -2) \quad \text{Cóncava (}\cup\text{): } (-2, +\infty) \quad \text{Punto de inflexión: } \left(-2, -\frac{2}{e^2}\right)}$$

**1. Asíntotas Verticales:** No existen, ya que el dominio es $\mathbb{R}$. **2. Asíntotas Horizontales:** Calculamos el límite en $+\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} xe^x = (+\infty) \cdot e^{+\infty} = +\infty \quad \text{(No hay AH)}$$ Calculamos el límite en $-\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} xe^x = (-\infty) \cdot e^{-\infty} = (-\infty) \cdot 0$$ Es una indeterminación de tipo $0 \cdot \infty$. Reasociamos para aplicar la **Regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x}{e^{-x}} = \left[ \frac{-\infty}{\infty} \right] = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{-e^{-x}} = \frac{1}{-\infty} = 0$$ Existe una **asíntota horizontal en $y = 0$** cuando $x \to -\infty$. **3. Asíntotas Oblicuas:** Como hay AH en $-\infty$, no hay oblicua por ese lado. En $+\infty$: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \quad \text{(No hay AO)}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A. Verticales: No hay} \quad \text{A. Horizontales: } y=0 \text{ (solo en } -\infty\text{)} \quad \text{A. Oblicuas: No hay}}$$

Para completar la gráfica, observamos que la función pasa por el origen $f(0) = 0 \cdot e^0 = 0$. Resumiendo la información: - El punto de corte es $(0,0)$. - Tiene un mínimo en $(-1, -0.37)$. - Tiene un punto de inflexión en $(-2, -0.27)$. - Se aproxima al eje $X$ ($y=0$) por la izquierda y crece hacia $+\infty$ por la derecha. "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=xe^x", "color": "#2563eb" }, { "id": "min", "latex": "(-1, -1/e)", "color": "#ef4444", "showLabel": true, "label": "Mínimo" }, { "id": "inf", "latex": "(-2, -2/e^2)", "color": "#16a34a", "showLabel": true, "label": "P. Inflexión" }, { "id": "as", "latex": "y=0", "lineStyle": "DASHED", "color": "#374151" } ], "bounds": { "left": -6, "right": 2, "bottom": -1, "top": 2 } } }